Utilización de un generador de números aleatorios para extraer muestras de una función de distribución acumulativa

Question

Me dan una función de distribución de Rayleigh: $$f(x)=\frac{1}{5}x\exp\left(\frac{-x^2}{10}\right)$$ con $x>0$ y lo pidió:

Utilice un algoritmo generador de números aleatorios adecuado para extraer 500 muestras de F(x).

Lo que he pensado hacer es utilizar el método de aceptación-rechazo :

1. Generar un rv $Y$ distribuido como $G$ .

2. Genere $U$ (independiente de $Y$ ).

3. Si $U \leq \frac{f(Y)}{cg(Y)}$ , entonces establece $X$ $=$ $Y$ ("aceptar") ; en caso contrario volver a 1 ("rechazar").

Pensé que utilizaría el $\chi^2$ distribución como mi $g(Y)$ con $k=1$ grados de libertad. Tomé esa decisión por el hecho de que ambas funciones tienen el mismo dominio, a saber $x\in(0,\infty)$ y sus FCD son "similares". Por lo tanto : $$g(x)=\frac{x^{-\frac{1}{2}}\cdot\exp\left(-\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}$$ Entonces $$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\sqrt{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{5}\cdot x ^{\frac{3}{2}}\cdot\exp\left(\frac{x}{2}-\frac{x^2}{10}\right)$$ Y descubrí que esta función tiene un máximo en $$x=\frac{5+\sqrt{145}}{4}$$ que ronda $4.26$ . Por lo tanto $$\frac{f(x)}{g(x)}\leq c=4.26$$ . Pero también leí que $c$ tiene que estar lo más "cerca" posible de 1 y creo que 4,26 no está "cerca" ¿Es correcto mi cálculo? ¿Es totalmente erróneo? ¿Debería utilizar un método diferente para extraer esas muestras aleatorias? Gracias por cualquier método

Answer 1

La forma más sencilla es utilizar la función de distribución acumulativa como en el título de tu pregunta. Como señala Jim B., la CDF es:

$$F(x)=1-e^{-\frac{x^2}{10}}$$

El método se explica aquí: wikipedia o aquí: ¿Cómo funciona el método de la transformada inversa?

El método de aceptación-rechazo es más complejo, suele ser más lento y no debería ser la primera opción. Sólo es útil cuando la FCD no tiene una forma cerrada sencilla.

Answer 2

Si realmente quieres hacer aceptar-rechazar yo sugeriría que un $\chi^2_4$ densidad sería una opción considerablemente mejor como propuesta que una $\chi^2_1$ . A $c$ de algo menos de 1,5 (yo usaría 1,5, la diferencia es minúscula).

[Con cuidado, una densidad gamma bien elegida permitiría situarla por debajo de 1,5. Probablemente no merezca la pena. Sin embargo, probablemente no merezca la pena el esfuerzo; es posible que puedas hacerlo considerablemente mejor con una mezcla].

Sin embargo (como se ha sugerido en los comentarios), el método de la CDF inversa es probablemente más conveniente para el Rayleigh.