Valor esperado del logaritmo de 1+ una variable aleatoria gaussiana al cuadrado

Question

Si $X$ es normal estándar, lo que es

$$\mathbb{E}\log(1+X^2).$$

Veo que $X^2\sim\mathrm{Gamma}(\frac 12,2),$ pero ¿existe una fórmula sencilla para lo anterior (quizás en términos de las funciones poligamma)?

Answer 1

Tenemos que calcular: $$\begin{eqnarray*}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\log(1+x^2)\,e^{-x^2/2}dx&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\lim_{s\to 0^+}\frac{d}{ds}\int_{-\infty}^{+\infty}(1+x^2)^s\,e^{-x^2/2}\,dx=\\ &=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\lim_{s\to 0^+}\frac{d}{ds}U\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}+s,\frac{1}{2}\right)\end{eqnarray*}$$ donde $U$ es la función hipergeométrica confluente.