Buscando una forma 1 que se integre a 1 sobre el colector $S^1$

Question

Sea $A=\{(x,y,z)\in S^2:z= 0\}$ y $f:A\rightarrow S^1$ con $(x,y,z)\mapsto(-y(1-z^2),x(1-z^2))$ .

Busco un $\omega$ s.t. para obtenemos $\int_{S^1}\omega=1$ y $\int_{A}F^*\omega=1$ .

Qué $\omega$ ¿puedo tomar?

Intenté $\omega=xdx$ pero eso no da $\int_{S^1}\omega=1$ .

Answer 1

Observe que $f\big|_A \big( (x , y, 0) \big) = (-y, x)$ Por lo tanto $f \big| _A$ es claramente un difeomorfismo, por lo que en cuanto encontremos $\omega$ en $S^1$ tal que $\int _{S^1} \omega = 1$ se deducirá automáticamente que $\int _A f^* \omega = \int _{f(A)} \omega = \int _{S^1} \omega$ (sin necesidad de que usted lo exija).

Ahora dota $S^1$ con la forma $\omega = \frac 1 {2\pi} (x \ \Bbb d y - y \ \Bbb d x)$ . Obsérvese que, utilizando cualquiera de las técnicas mostradas en las respuestas a su pregunta anterior (Voy a utilizar el teorema de Stokes con $S^1 = \partial D_1$ ), la integral de esta forma es

$$\int \limits _{\partial D_1} \omega = \frac 1 {2\pi} \int \limits _{D_1} \Bbb d (x \ \Bbb d y - y \ \Bbb d x) = \frac 1 {2\pi} \int \limits _{D_1} 2 \ \Bbb d x \wedge \Bbb d y = \frac 1 \pi \int \limits _{D_1} \Bbb d x \Bbb d y = \frac 1 \pi \text{ area } (D_1) = 1 ,$$

por lo tanto es un formulario como se requiere. Sin embargo, esta forma no es única, hay infinitas que se integran a $1$ .