Diagonalizar matriz simétrica 2x2

Question

Si A es un $2\times2$ matriz simétrica ( $A^T = A$ ) donde $b$ no es igual a cero ( $a$ están en la diagonal, $b$ ocupan el otro $2$ espacios), encontrar una matriz $X$ tal que $X^T AX$ es diagonal.

¿Cuál es la forma más sencilla de resolver este problema (utilizando la diagonalización ortogonal intro álgebra lineal)?

Answer 1

También puedes seguir con los cálculos ;)

Se obtienen fácilmente los dos valores propios : $\lambda_1=a-b$ y $\lambda_2=a+b$ y los vectores propios correspondientes:

$V_1=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ y $V_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

también puedes hacer que tengan norma 1. Entonces:

$V_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ y $V_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Y así tienes tus dos matrices $P$ y $D$ tal que $A=PDP^{-1}$ :

$D=\begin{pmatrix} a-b & 0 \\0 & a+b \end{pmatrix}$ y $P=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\1 & 1 \end{pmatrix}$

tu matriz $P$ es claramente simétrica, y $P^{-1}=P^T$ . Y ahí lo tienen:

$A=PDP^{-1}=PDP^T$ que da $D=P^TAP$