¿Puede violarse definitivamente el principio de Vopenka?

Question

Una forma del principio de Vopenka (un axioma cardinal grande) afirma que ninguna categoría localmente presentable contiene una subcategoría completa que sea grande (= una clase propia) y discreta (= no contiene morfismos de no identidad). En términos de esta definición, mi pregunta es:

¿Se puede definir una categoría particular localmente presentable C y escribir una fórmula explícita $\phi(x)$ en el lenguaje de primer orden de la teoría de conjuntos tal que si El principio de Vopenka falla, entonces $\{ x | \phi(x) \}$ es una gran subcategoría completa discreta de C?

Pero siéntase libre de utilizar cualquier enunciado equivalente del principio de Vopenka y responder a una versión convenientemente equivalente de la pregunta.

Answer 1

Actualización. Mi nuevo artículo desarrolla y amplía mi respuesta de 2010 a esta pregunta. La parte nueva es el resultado de la conservatividad, que muestra que el principio de Vopěnka tiene las mismas consecuencias de primer orden que el esquema estrictamente más débil de Vopěnka.

• Joel David Hamkins, El principio de Vopěnka no es equivalente al esquema de Vopěnka, pero es conservador. manuscrito en revisión. ( arxiv )

Resumen. El principio de Vopěnka, que afirma que toda clase propia de estructuras de primer orden en un lenguaje común admite una incrustación elemental entre dos de sus miembros, no es equivalente sobre GBC al esquema de Vopěnka de primer orden, que hace la afirmación de Vopěnka sólo para las clases de estructuras definibles de primer orden. No obstante, los dos axiomas de Vopěnka son equiconsistentes y tienen exactamente las mismas consecuencias de primer orden en el lenguaje de la teoría de conjuntos. En concreto, GBC más el principio de Vopěnka es conservativo respecto a ZFC más el esquema de Vopěnka para las aserciones de primer orden en el lenguaje de la teoría de conjuntos.

En Principio de Vopěnka es la afirmación de que para cada clase propia $\mathcal{M}$ de primer orden $\mathcal{L}$ -estructuras, para un lenguaje del tamaño de un conjunto $\mathcal{L}$ hay distintos miembros de la clase $M,N\in\mathcal{M}$ con una incrustación elemental $j:M\to N$ entre ellos. Al cuantificar sobre clases, este principio es una única afirmación en el lenguaje de la teoría de conjuntos de segundo orden, y tiene sentido considerar el principio de Vopěnka en el contexto de una teoría de conjuntos de segundo orden, como la teoría de conjuntos de Godel-Bernays GBC, cuyo lenguaje permite cuantificar sobre clases. En este artículo, GBC incluye el axioma global de elección.

En cambio, el primer orden Esquema Vopěnka hace la afirmación de Vopěnka sólo para las clases definibles de primer orden $\mathcal{M}$ (permitiendo parámetros). Esta teoría puede expresarse como un esquema de enunciados de primer orden, uno por cada definición posible de una clase, y tiene sentido considerar el esquema de Vopěnka en la teoría de conjuntos ZFC de Zermelo-Frankael con el axioma de elección.

Dado que el principio de Vopěnka es una afirmación de segundo orden, no tiene sentido referirse a él en el contexto de la teoría de conjuntos ZFC, cuyo lenguaje de primer orden no permite la cuantificación sobre clases; en ese contexto se suele recurrir al esquema de Vopěnka. El tema de mi artículo es investigar las interacciones meta-matemáticas precisas entre estos dos tratamientos de la idea de Vopěnka.

Teoremas principales.

1. Si ZFC y el esquema de Vopěnka son válidos, entonces hay una extensión forzada de clases, que añade clases pero no conjuntos, en la que GBC y el esquema de Vopěnka son válidos, pero el principio de Vopěnka falla.
2. Si se cumple ZFC y el esquema de Vopěnka, entonces existe una extensión forzosa de clases, que añade clases pero no conjuntos, en la que se cumple GBC y el principio de Vopěnka.

De ello se deduce que el principio VP de Vopěnka y el esquema VS de Vopěnka no son equivalentes, pero son equiconsistentes y, de hecho, tienen las mismas consecuencias de primer orden.

La afirmación 1 se demuestra forzando la clase para añadir una clase de club $C$ evitando a los cardenales regulares. Esto destruye la afirmación "Ord es Mahlo" y, por tanto, destruye el principio de Vopěnka, al tiempo que preserva el esquema de Vopěnka porque no añade conjuntos.

La afirmación 2 se demuestra por forzamiento de clase del axioma global de elección. La parte difícil es demostrar que el principio de Vopěnka es cierto con respecto a las nuevas clases definibles a partir del filtro genérico. La prueba implica el concepto de estirable configure $g\subset\kappa$ para un $A$ -cardinal extensible, que tiene la propiedad de que para cada cardinal $\lambda<\kappa$ y cada extensión $h\subset\lambda$ con $h\cap\kappa=g$ existe una incrustación elemental $j:\langle V_\lambda,\in,A\cap V_\lambda\rangle\to\langle V_\theta,\in,A\cap V_\theta\rangle$ tal que $j(g)\cap\lambda=h$ . Así, el conjunto $g$ puede estirarse mediante un $A$ -extensibilidad de modo que concuerde con cualquier $h$ . Esta propiedad de elasticidad es la $A$ -análogo de extensibilidad de la técnica de la condición maestra en otros contextos cardinales amplios.

Corolarios.

1. Sobre GBC, el principio Vopěnka y el esquema Vopěnka, si son coherentes, no son equivalentes.
2. No obstante, los dos axiomas de Vopěnka son equiconsistentes sobre GBC.
3. De hecho, los dos axiomas de Vopěnka tienen exactamente las mismas consecuencias de primer orden en el lenguaje de la teoría de conjuntos. En concreto, GBC más el principio de Vopěnka es conservativo respecto a ZFC más el esquema de Vopěnka para las afirmaciones en el lenguaje de primer orden de la teoría de conjuntos. $$\text{GBC}+\text{VP}\vdash\phi\qquad\text{if and only if}\qquad\text{ZFC}+\text{VS}\vdash\phi$$

Consulta el historial de ediciones para ver mi respuesta de 2010.