Demostrar que $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2-2x\cos(a)+1} dx = \frac{\pi}{2\sin(a)}$ para $a\in(0,\pi)$

Question

Estoy preparando un examen y este es un problema de otro anterior. Desafortunadamente no poseo solución y cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Sugerencia : Podemos reescribir el denominador como $$x^2-2x\cos a + 1 = x^2-2x\cos a + \cos^2 a + \sin^2 a = (x-\cos a)^2+\sin^2 a,$$ por lo que la integral se convierte en $$\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{x^2-2x\cos a + 1} = \int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{(x-\cos a)^2+\sin^2 a}.$$

Ahora, intente sustituir $u = \dfrac{x-\cos a}{\sin a}$ y ver qué pasa.

Answer 2

Nota $x^2-2x\cos a+1=(x e^{ia}-1)(x e^{-ia}-1)$ . Entonces

\begin{align} \int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2-2x\cos a +1} = &\frac{1}{2i\sin a} \int_{-1}^{1} \frac{e^{-ia}}{x e^{-ia}-1} -\frac{e^{ia}}{x e^{ia }-1} \>dx \\ =&\frac{1}{2i\sin a} \ln \frac{x e^{-ia }-1}{x e^{ia }-1}\bigg|_{-1}^{1} = \frac{\ln(e^{i\pi})}{2i\sin a} =\frac{\pi}{2\sin a} \end{align}