Publiqué la siguiente pregunta en un comentario en ¿Existen espacios vectoriales no reflexivos isomorfos a su bi-dual? y recibió un upvote, pero no obtuvo respuesta, así que la publicaré como pregunta independiente.
¿Existe algún ejemplo de grupo topológico abeliano Hausdorff G tal que G y su segundo dual G^^ sean isomorfos como grupos topológicos pero el mapa natural G ---> G^^ no sea un isomorfismo de grupo topológico? El grupo dual de un grupo topológico abeliano Hausdorff recibe la topología compacto-abierto, lo que hace que el grupo dual sea un grupo topológico abeliano, aunque [editar] a priori no está claro que G^ separe puntos en G, por lo que la Hausdorfidad de G^^ forma parte de las condiciones que habría que comprobar en un ejemplo (en lugar de ser automática).
[editar: Dado que G^ no necesita ser Hausdorff, tal vez incluso estoy dispuesto a dejar de lado esa condición. Si G es un grupo abeliano superior, entonces G^ con la topología compacta-abierta es un grupo abeliano superior y G^^ también lo es. ¿Existe tal G isomorfo a G^^ pero no por el mapa natural? Si un ejemplo no Hausdorff resulta ser tonto entonces tal vez voy a pegar la condición Hausdorff de nuevo].
