Hallar el número de ceros en $D(0;1)$ de $\cos \pi z -100z^{100}$
El objetivo es aplicar el Teorema de Rouché a $\cos \pi z$ ou $-100z^{100}$ . Esto es lo que hice:
Sea $f(z)=-100z^{100}$ y $g(z)=\cos \pi z$ . Ahora $$\begin{align*} |\cos\pi z|&=\left \vert \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\pi z^{2n}}{(2n)!} \right \vert\\ &\leq \sum_{n=0}^{\infty}|(-1)^n|\frac{|\pi z|^{2n}}{(2n)!}\\ &= 1+\frac{\pi^2}{2!}+\frac{\pi^4}{4!}+\dots\\ &<1+\frac{4^2}{2!}+\frac{4^4}{4!}+\dots\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4^{2n}}{(2n)!}\\ &=\cosh 4 \end{align*}$$ Y por otro lado, $|f(z)|=|-100^{100}|=100$ . Desde $\cosh 4<100$ , $f(z)$ tiene el mismo número de ceros que $f(z)+g(z)$ en $D(0;1)$ Eso es, $100$ .
No sé si el límite para $g$ es correcta, porque Wolfram Alpha da que la ecuación tiene dos soluciones. Gracias de antemano.
