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Demostración matemática de una integral impropia

Obtuve la siguiente solución para la integral $I$ de Wolfram y he verificado la solución numéricamente, ¡que parece ser correcta! ¿Alguien tiene idea de la demostración matemática?

$I = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}sin(bx)}{x} dx = \arctan(\frac{b}{a})$

en la que a y b son algunas constantes positivas.

Gracias de antemano.

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Vijesh VP Puntos 2535

Comience con $\int_0^\infty e^{-ax} \cos(bx) \, dx$ que es fácil de calcular. A continuación, integrar con respecto a $b$ . Utilice $b=0$ para establecer la constante de integración. Agita las manos para explicar la validez de intercambiar las dos integrales (o cita el Teorema de Fubini).

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Puede seguir los pasos

i) Diferenciar $I$ por ejemplo $a$ .

ii) evaluar la integral $I_a$ .

iii) integrar con respecto a $a$ y observe que $\lim_{a\to \infty} I =0. $

He aquí una problema relacionado .

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