Distancia de Hausdorff y unión de conjuntos

Question

Sea $X$ sea un espacio métrico; $A_1$ , $A_2$ , $B_1$ , $B_2$ sean subconjuntos no vacíos en $X$ . Sea $d(\cdot,\cdot)$ sea el Distancia de Hausdorff entre series en $X$ . Entonces $$ d (A_1 \cup A_2 , B_1 \cup B_2) \leq \max \{ d(A_1,B_1), d(A_2,B_2)\}. $$

Answer 1

Para un subconjunto $A \subset X$ y un verdadero $\epsilon>0$ , dejemos que $\cup_{\epsilon}A$ indica $\{x \in X \mid d(x,A)< \epsilon\}$ .

Sea $r =\max (d(A_1,B_1),d(A_2,B_2))$ . Entonces $A_i \subset \cup_rB_i$ y $B_i \subset \cup_r A_i$ . Por lo tanto, $$\cup_r(B_1 \cup B_2) = \cup_rB_1 \cup \cup_r B_2 \supset A_1 \cup A_2$$ y del mismo modo $$\cup_r(A_1 \cup A_2) \supset B_1 \cup B_2.$$ Así, $d(A_1 \cup A_2, B_1 \cup B_2) \leq r$ .

Answer 2

Esto está relacionado de alguna manera con mi pregunta ¿Cómo conmutan el máximo y la unión en la medida de Hausdorff? . Una solución para su problema aparece en el libro de Barnsley sobre Superfractales, teorema 1.12.15, página 66. Permíteme seguir su enfoque y tomar prestada alguna notación de mi pregunta enlazada. También asumiré la definición algebraica de distancia de Hausdorff, a diferencia de la respuesta anterior, pero ambas definiciones son equivalentes.

Quiere demostrar que $d_H(A \cup B,C \cup D) \le \max\{d_H(A,C),d_H(B,D)\}$ . En la respuesta enlazada encontrará una prueba de $d(B \cup C, A) = \max\{d(B,A),d(C,A)\}$ . De aquí se deduce que

$$d(C \cup D, A \cup B) = \max\{d(C,A \cup B),d(D,A \cup B)\}.\qquad (1)$$

Entonces se establece:

$$\begin{align*}d(C,A \cup B) &= \max_{c \in C} \min_{x \in A \cup B} d(c,x)\\ &= \max_{c \in C} \min\{\min_{a \in A} d(c,a),\min_{b \in B} d(c,b)\}\\ &\le \min\{ \max_{c \in C} \min_{a \in A} d(c,a),\max_{c \in C} \min_{b \in B}d(c,b)\}\\ &= \min\{d(C,A),d(B,C)\}.\end{align*}$$

En consecuencia $d(C,A \cup B) \le d(C,A)$ y $d(D,A \cup B) \le d(D,B)$ . Ahora, volvemos a $(1)$ y sustituir, por lo que obtenemos $d(C \cup D,A \cup B) \le \max\{d(C,A),d(D,B)\}$ y $d(A \cup B,C \cup D) \le \max\{d(A,C),d(B,D)\}$

Por fin,

$$\begin{align*}d_H(A \cup B, C \cup D) &= \max\{d(C \cup D, A \cup B),d(A \cup B,C \cup D)\}\\ &\le \max\{\max\{d(C,A),d(D,B)\},\max\{d(A,C),d(B,D)\}\}\\ &\le \max\{d(C,A),d(D,B),d(A,C),d(B,D)\}\\ &= \max\{\max\{d(C,A),d(A,C)\},\max\{d(B,D),d(D,B)\}\\ &= \max\{d_H(A,C),d_H(B,D)\}.\end{align*}$$

Tenga en cuenta que el autor trabaja en $H(X)$ el conjunto de subconjuntos compactos no vacíos de su espacio base pero la prueba es la misma cambiando $\max$ para $\sup$ y $\min$ para $\inf$ . Agradeceré cualquier modificación que pueda mejorar la presentación de las ecuaciones anteriores.