demostrar esta desigualdad $\sum\frac{a}{b}\ge \sum a^2$

Question

Sea $a,b,c>0$ tal $a+b+c=3$ demuestre que $$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge a^2+b^2+c^2$$

He mostrado esta desigualdad no más fuerte $$\sum\dfrac{a}{b}\ge \sum a$$

Answer 1

Sea $\sum $ denotan suma cíclica, entonces observa: $$\sum a(a-b)^2(b-2c)^2 \geqslant 0$$ $$\implies \sum ab^4 + \sum a^3b^2 + 2\sum a^2b^3+4abc\sum ab -8abc\sum a^2 \geqslant 0 $$ $$\implies 2\left( \sum a \right)^2\sum ab^2 + abc\left(\sum a\right)^2 \geqslant 21abc\sum a^2$$ $$\implies 6 \sum \frac{a}b + 3 \geqslant 7\sum a^2$$

Añadir lo obvio $\sum a^2 \geqslant 3$ a lo anterior para concluir. Igualdad es cuando $a=b=c=1$ .