Integración de $\ln(2x) $ por sustitución

Question

He estado repasando un poco de cálculo básico y me he encontrado con lo siguiente que soy incapaz de explicar (cómo han caído los poderosos):

Si integramos $ \ln(2x) $ por partes entonces obtenemos rápidamente la solución correcta $$ x\ln(2x) - 2x .$$ Sin embargo cuando intento integrar por sustitución procedo de la siguiente manera: set $ u := 2x \Rightarrow du = 2dx $ . Por lo tanto $$ \int\ln(2x)dx = \frac 1 2\int\ln(u)du .$$ Esto equivale a $$ \frac{1}{2}(u\ln(u)-u) + c = x\ln(2x)-x + c .$$ ¿En qué me equivoco?

Answer 1

Gracias por la avalancha de respuestas en tan poco tiempo. Y ahora la explicación de mi error, y la eterna vergüenza que le seguirá. Todo lo anterior se deriva del siguiente error aritmético básico

$$ \frac d{dx}\ln(2x) = 2\cdot\frac{1}{2x} $$ no $$ 2\cdot\frac{1}{x} $$ como lo estaba haciendo yo. Ahora a cambiar mi nombre, mudarme a Cornwall, y llevar una vida tranquila lejos de Stack Exchange.

Answer 2

$$\int \ln(2x)dx$$

Por partes:

$\color{gray}{f=\ln(2x)}\text{ and } \color{gray}{df=\frac 1 x dx}$

$\color{gray}{g=x}\text{ and } \color{gray}{dg=dx}$

$$=\boxed{\color{blue}{x\ln(2x)-x+c}}$$

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Su primera respuesta " $ x\ln(2x) - 2x .$ " es $\color{red}{\text{not}} $ correcto