Acerca de la minimización de la longitud

Question

Problema :

Sean dos puntos : $\mathrm{P}(-2, 0), \mathrm{Q}(2, 0)$ .

Y un punto T se mueve en el plano xy con estas dos restricciones :

(i) : T pasa de $\mathrm{P}$ a $\mathrm{Q}$ .

(ii) : $\mathrm{T}(x, y)$ siempre safisfies : $x^2 + y^2 \ge 1$ .

Encontrar la longitud mínima de la trayectoria donde $\mathrm{T}$ conmovido.

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A partir de la condición (ii), T puede ser exterior de $x^2 + y^2 =1$ o en él.

Y podemos asumir $y>0$ para siempre.

Intuitivamente, parece tener mínimo cuando se mueve como (línea tangente del círculo) - (círculo) - (línea tangente del círculo).

Para demostrar que el caso es mínimo, he intentado :

A : demuestre que no hay ningún camino tal que tenga menor longitud.

B : demostrar que la longitud existe y es finita.

B es fácil, pero ¿cómo puedo demostrar A?

Al principio, supuse que la trayectoria de $\mathrm{T}$ es simétrica, pero la trayectoria es libre sobre simétrica.

¿Existe algún enfoque agradable?

Gracias, señor.

Answer 1

Camino más corto entre dos puntos situados en un círculo $x^2+y^2=1$ es el arco más corto entre estos puntos. Por eso necesitamos sólo un arco en el círculo.

Cuando segmento $AB$ no tiene ningún punto dentro del círculo $x^2+y^2=1$ entonces segmento $AB$ es el camino más corto entre $A$ y $B$ .

Así pues, nuestro camino más corto consta de tres partes: segmento $PR$ a círculo, arco $RS$ sobre círculo y segmento $SQ$ al punto final.

No tiene sentido que el arco $RS$ que interseca la línea $PQ$ porque el punto de reflejo $S$ acerca de la línea $PQ$ podemos reducir la longitud del arco sin cambiar la longitud del segmento. Así que $S$ y $R$ están en el mismo semiplano respecto a la recta $PQ$ . Sin pérdida de generalidad, podemos tomar que este semiplano es $y\geq 0$ .

Sea $R=(\cos t;\sin t)$ , $S=(\cos u;\sin u)$ , $0\leq u \leq \frac{\pi}{3} < \frac{2\pi}{3}\leq t \leq \pi$ . $u \leq \frac{\pi}{3}$ es necesario para $SQ$ círculo no intersecante, razón similar para $\frac{2\pi}{3}\leq t$ . Entonces $L=PR+(RS)+SQ=$ $\sqrt{(2+\cos t)^2+\sin^2 t}+(t-u)+\sqrt{(2-\cos u)^2+\sin^2 u}=$ $(t+\sqrt{5+4\cos t})+(\sqrt{5-4 \cos u}-u)$ . Podemos dividir $L$ en dos partes y optimizar cada parte por separado y encontrar que $u=\frac{\pi}{3}$ y $t=\frac{2\pi}{3}$ hacer la parte más corta.

$$L_{min}=2\sqrt{3}+\frac{\pi}{3}$$