$f$ mapea un conjunto cerrado de Zariski a otro conjunto cerrado de Zariski

Question

$f:X\rightarrow Y$ es un mapa polinómico entre dos variedades algebraicas. $X$ y $Y$ . $f_{*}:k[Y]\rightarrow k[X]$ es el homomorfismo algebraico correspondiente entre el anillo de coordenadas. Supongamos que $f_{*}$ es inyectiva y $k[X]$ es integral sobre $k[Y]$ . Quiero demostrar que si $Z\subset X$ es Zariski cerrado, entonces $f(Z)$ es Zariski Cerrado.

Mi enfoque: Desde $X$ , $Y$ , $Z$ son cerrados, existen ideales $I_{X}$ , $I_{Y}$ y $I_{Z}$ corresponden a estos conjuntos, con $I_{X}\subset I_{Z}$ . Desde $f_{*}$ es inyectiva, $ker(f_{*})=0$ implica $f_{*}^{-1}(I_{X})=I_{Y}$ . Entonces $I_{Y}\subset f_{*}^{-1}(I_{Z}):=I$ . Ahora es rutinario comprobar que $I$ es un ideal, por lo que $f(Z)$ está cerrado.

¿Es válida esta prueba? Me parece que $f_{*}^{-1}$ Si la prueba no es válida, ¿alguien puede aportar una prueba?

Answer 1

Su prueba no hace referencia al hecho de que $ f : X \to Y $ es un mapa finito, es decir, que $ k[X] $ es integral sobre $ k[Y] $ . Esta condición es esencial; por ejemplo, la proyección de $ V((XY - 1)) \subset \mathbb A^2 $ hasta su primera coordenada es el ejemplo clásico de mapa bajo el cual la imagen de subconjuntos cerrados de Zariski no es cerrada de Zariski. Corresponde a la extensión en anillo de $ k[X, X^{-1}] $ en $ k[X] $ que, por supuesto, no es integral.

El problema es que no se puede garantizar la preimagen de $ I(Z) $ bajo el mapa $ f^* : k[Y] \to k[X] $ En otras palabras $ I(f(Z)) $ tiene la propiedad de que $ V(I(f(Z)) = f(Z) $ . En general, esto sólo es igual al cierre de $ f(Z) $ por lo que esta propiedad equivale a decir que $ f(Z) $ se cierra en primer lugar.

La propiedad que es vital para demostrar esta afirmación es la propiedad ascendente de las extensiones integrales. Supongamos que $ V(I(f(Z)) $ contiene estrictamente $ f(Z) $ es decir, existe otro punto en el que todos los elementos de $ V(I(f(Z)) $ desaparecer; y supongamos sin pérdida de generalidad que $ Z $ es irreducible, y por tanto también lo es $ f(Z) $ . En este caso, este punto corresponde a un ideal máximo $ \mathfrak m $ que contiene $ I(f(Z)) $ y por la propiedad ascendente de la cadena $ I(f(Z)) \subset \mathfrak m $ se eleva a una cadena $ I(Z) \subset \mathfrak m' $ en $ k[X] $ para algún ideal maximal $ \mathfrak m' $ . Entonces, $ \mathfrak m' $ corresponde a un punto de $ Z $ y esto es una contradicción ya que eleva un punto que no está en $ f(Z) $ en virtud de la prórroga $ f^* : k[Y] \to k[X] $ .