mostrando cualquier norma sobre $\mathbb{R}^n$ está limitada por la norma estándar

Question

Sea V un espacio vectorial real de dimensión finita. Sea $$\|\cdot\|$$ sea una norma arbitraria sobre $\mathbb{R}^n$ Escriba a $ x = \sum_{i=1}^k x_i e_i$ où $e_i$ es la base estándar. Estoy tratando de demostrar que $$\|x\| \leq C\|x\|_2$$ para alguna constante $C>0$ . ¿Alguien tiene algún consejo?

Esto es para una pregunta más grande, pero siento que si resuelvo esto puedo resolver todo el problema

Answer 1

Pista: $$\|{\bf x}\| = \left\|\sum_i x_i {\bf e}_i\right\| \leq \sum_i \|x_i{\bf e}_i\| = \sum_i |x_i|\|{\bf e}_i\|.$$

Answer 2

Es un resultado bien conocido que todas las normas sobre un finito espacio dimensional son equivalentes, de los cuales el suyo es un caso especial.

Sólo hay que fijarse en las propiedades de una norma:

$$||x|| \le \sum_{i=1}^k |x_i| ||e_i|| \le k \max_i\{|x_i| \} \max_i\{||e_i||\} \le k \max_i\{||e_i|| \} ||x||_2$$ Configuración $C = k \max_i\{||e_i|| \}$ se establece la reclamación.

Answer 3

Por la desigualdad del triángulo, $\|x\| \le \sum_{k = 1}^n |x_i|\|e_i\|$ y por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, $\sum_{k = 1}^n |x_i|\|e_i\| \le C\|x\|_2$ con $C = \sqrt{\sum_{k = 1}^n \|e_i\|^2}$ .