Función característica como operador de proyección

Question

Sea $(X, \mu)$ sea un espacio de medidas y denotemos $\chi_E$ por la función característica de un conjunto medible E. Entonces el operador $Q_E f=\chi_E f$ definido en $L^2 (X, \mu)$ es una proyección. ¿Bajo qué condición en $E$ , $F$ es $Q_E+Q_F$ ¿una proyección?

No entiendo muy bien qué tengo que hacer para demostrar que un operador es una proyección Si alguien puede proporcionar una prueba que esto ayudará inmensamente.

Answer 1

Pistas:

• $P = Q_E + Q_F$ es una proyección si $P^2 = P$ .

• Si $A \cap B = \emptyset$ entonces $Q_A Q_B = Q_B Q_A = 0$ .

• Puede escribir $P = Q_{E \backslash F} + 2Q_{F\cap E} + Q_{F \backslash E}$ .