Prueba $f$ es integrable en $[a,b]$ si $f$ tiene un número finito de puntos de acumulación en $[a,b]$ .

Question

Supongamos que el intervalo $I\in[a,b]$ como puntos límite finitos, $f:[a,b]\to \mathbb{R} $ está limitada en $[a,b]$ y continua en $[a,b]\setminus I$ . Utilice el hecho de que si $f$ es continua excepto en un número finito de puntos de un intervalo, $f$ es integrable en ese intervalo.

Puedo utilizar los teoremas de integración y las definiciones de Darboux y Reimann.

Creo que la forma correcta de empezar es dividir los puntos de acumulación en intervalos, pero no estoy seguro de la forma correcta de establecer esto. También sé que dada la hipótesis, hay infinitamente muchas discontinuidades en $[a,b]$ pero yo pero tampoco sé cómo demostrarlo. Agradezco cualquier ayuda, ¡gracias!

Answer 1

La formulación de la pregunta es un poco confusa. El resultado correcto es el siguiente

Teorema : Sea la función $f:[a, b]\to\mathbb{R} $ estar limitada en $[a, b] $ y $D$ sea el conjunto de sus discontinuidades en $[a, b] $ . Si $D$ tiene un número finito de puntos de acumulación, entonces $f$ es integrable de Riemann en $[a, b] $ .

Para quienes estén familiarizados con la teoría básica de las medidas, observen que $D$ es un conjunto de medida cero y por tanto por el criterio de Lebesgue $f$ es integrable de Riemann en $[a, b] $ .

Sin embargo, el resultado puede demostrarse utilizando teoremas básicos sobre la integración de Riemann. Se puede dividir el intervalo $[a, b] $ en un número finito de subintervalos tales que cada subintervalo contenga sólo un punto de acumulación de $D$ y además el punto de acumulación es un punto final de ese subintervalo.

Esto reduce el problema al caso en que $D$ sólo tiene un punto límite $a$ (o $b$ y este caso se trata de forma similar). Sea $\epsilon >0$ ser arbitraria. Si $M$ es un límite superior positivo para $|f|$ en $[a, b] $ entonces podemos elegir $c=\min(b, a+(\epsilon/4M))$ . Desde $a$ es el único punto límite de $D$ en $[a, b] $ el intervalo $[c, b] $ sólo contiene un número finito de puntos de $D$ . Entonces $f$ es integrable de Riemann en $[c, b] $ y por tanto existe una partición $P'$ de $[c, b] $ para lo cual $$U(P',f)-L(P',f)<\frac{\epsilon} {2}$$ Sea $P=P'\cup\{a\} $ para que $P$ es una partición de $[a, b] $ y entonces tenemos $$U(P, f) - L(P, f) <2M\cdot \frac{\epsilon} {4M}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ y por lo tanto $f$ es integrable de Riemann en $[a, b] $ .