Una función holomorfa que envía enteros (y sólo enteros) a $\{0,1,2,3\}$

Question

¿Existe una función $f$ holomorfo en todo el plano complejo $\mathbb{C}$ tal que $f\left(\mathbb{Z}\right)=\{0,1,2,3\}$ y

$\forall z\in\mathbb{C}\ (f(z)\in\{0,1,2,3\}\Rightarrow z\in\mathbb{Z})$ ?

En caso afirmativo, ¿es posible una construcción explícita?

Tenga en cuenta que, por ejemplo, $h(z)=\frac{1}{6} \left(9-8 \cos \left(\frac{\pi z}{3}\right)-\cos (\pi z)\right)$ no es una solución válida, ya que, en particular, ciertas raíces de la ecuación $h(z)=0$ no son números enteros, sino complejos.

Obsérvese también que esta pregunta se responde en positivo respecto a la función $g$ tal que $g\left(\mathbb{Z}\right)=\{0,1,2\}$ y $\forall z\in\mathbb{C}\ (g(z)\in\{0,1,2\}\Rightarrow z\in\mathbb{Z})$ . En este caso, un ejemplo de dicha función es $g(z)=1-\cos \left(\frac{\pi z}{2}\right)$ .

Nota: Este artículo es un reenvío de https://math.stackexchange.com/questions/4624439/a-holomorphic-function-sending-integers-and-only-integers-to-0-1-2-3 .

Answer 1

Tal función no existe. Supongamos primero que $f$ es real en la línea real. Usamos el teorema de Marchenko-Ostrovski de que si $f$ es entera y todos los ceros y soluciones de $f(z)=3$ son reales, entonces $f$ pertenece a la clase Laguerre-Pólya (cierre de polinomios con todos los ceros reales). Este teorema también nos dice cómo es la gráfica de esta función en la recta real: si $a_k$ son ceros y $b_k$ son 3 puntos, entonces su orden en la recta real es $$\dotsb a_k\leq a_{k+1}<b_k\leq b_{k+1}< a_{k+2}\leq\dotsb$$ con alguna elección de enumeración, y hay un punto crítico en cada intervalo $[a_k,a_{k+1}]$ y en $[b_k,b_{k+1}]$ y ningún otro punto crítico. Las secuencias de ceros y $3$ -los puntos son infinitos en ambas direcciones.

En particular, si $f(n)=0$ y $f'(n)\geq 0$ entonces $f(n+k)=k, 0\leq k\leq 3$ , $f(n+4)=3$ , $f(n+4+k)=3-k,\; 0\leq k\leq 3$ etc.

Ahora arreglar $n$ tal que $f(n)=0$ y consideremos la función en el intervalo $[n,n+3]$ . Desde $f(n+k)=0$ , $0\leq k\leq 3$ la función $g(x)=f(x)-x+n$ tiene $4$ ceros en el intervalo, por lo tanto $g'$ tiene al menos $3$ ceros, y $g''=f''$ tiene al menos $2$ ceros. Esto contradice el hecho de que para funciones de la clase Laguarre-Pólya, los ceros de $f^{(n)}$ y $f^{(n+1)}$ son interlindantes: los ceros adyacentes de $f'$ mentir en $[n-1,n]$ y $[n+3,n+4]$ , y por tanto $f''$ puede tener como máximo un cero en $[n,n+3]$ .

Referencia para el teorema de Marchenko-Ostrovski:

Zbl 327.34021 Marchenko, V. A.; Ostrovskii, I. V. Caracterización del espectro del operador de Hill . (ruso) Mat. Sb., N. Ser. 97(139), 540-606 (1975). ( Traducción al inglés ).

Observación 1. El teorema de Marchenko-Ostrovski supone a priori que $f$ mapea la línea real en sí misma. Sin embargo, esta propiedad se deduce de nuestra suposición de que $f$ -preimagen de $4$ puntos pertenece a la recta real, véase, por ejemplo,

Zbl 1172.30004 Bergweiler, Walter, Eremenko, Alexandre Funciones meromorfas con valores linealmente distribuidos y conjuntos de Julia de funciones racionales . Proc. Amer. Math. Soc. 137 (2009), no. 7, 2329-2333. arXiv .

donde se demuestra que siempre que todas las soluciones de $f(z)=a$ son reales, para $4$ valores distintos de $a$ , la función mapea la línea real a sí misma.

Observación 3. El análisis de la prueba anterior muestra que es válido un resultado ligeramente más sólido: Si $f(\mathbf{Z})\subset\mathbf{Z}$ y $f^{-1}(\{0,1,2,3\})\subset\mathbf{Z}$ entonces $f(z)=z+b$ , donde $b\in\mathbf{Z}$ .