Axioma de la cual

Question

Es muy fácil ver que $ZF + AD$ (axioma de cual) implica el axioma contable de la opción ($AC_\omega$), sin embargo, es incompatible con $AC$ $AD$. El % de principio de opción dependiente $DC$es sin embargo más fuerte que $AC_\omega$. En el capítulo del libro de Jech referente a $AD$, el autor escribe "vamos estar trabajando en $ZF+DC$". Pero ¿cómo sabemos a priori que $DC$ no puede llegar a ser incompatibles con $AD$?

Answer 1

A pesar de Asaf la respuesta es correcta, un par de aclaraciones:

• La consistencia de la fuerza de $\mathsf{AD}$ $\omega$ Woodin cardenales (no necesitamos el extra medibles). Es decir, si hay $\omega$ Woodin cardenales, a continuación, en un forzando la extensión no es un interior modelo donde $\mathsf{ZF}+\mathsf{AD}$ mantiene. Y, por el contrario, si hay un modelo de $\mathsf{ZF}+\mathsf{AD}$, entonces no es un forzando la extensión interior de un modelo que satisface $\mathsf{ZFC}+$ hay $\omega$ Woodin cardenales. Este equiconsistency es debido a Hugh Woodin.
• Si $\mathsf{AD}$ mantiene, entonces se mantiene en $L(\mathbb R)$. Esto es sencillo, como ganador de las estrategias que pueden ser codificados por reales.
• Es un teorema de Kechris que, seguramente en $\mathsf{ZF}$ si $L(\mathbb R)\models\mathsf{AD}$,$L(\mathbb R)\models\mathsf{DC}$. Este es un delicado resultado; se anticipa mucho de la teoría moderna de la determinación, argumentando a través de un tipo de inducción sobre los niveles de $L(\mathbb R)$, utilizando la teoría de las escalas debido a que el Acero.

También sucede que si $\mathsf{ZF}+\mathsf{DC}$ ocupa en el universo, entonces se mantiene en $L(\mathbb R)$, pero el punto de Kechris el resultado es que la compatibilidad de $\mathsf{AD}$ $\mathsf{DC}$ es un tema más profundo. La manera moderna de la prueba de este resultado se utiliza la derivada del modelo de teorema, debido a Woodin.

En $\mathsf{ZFC}$, si tenemos $\omega$ Woodins y medibles arriba (y menos que esto sea necesario), entonces, en el hecho de $L(\mathbb R)$ es un modelo de $\mathsf{AD}$. No necesitamos pasar a una forzando la extensión de más.

Asimismo, para recuperar la $\omega$ Woodins de $\mathsf{AD}$, pasando a un forzando la extensión es necesaria en general, es decir, por cada $n$, podemos encontrar el interior de los modelos de $\mathsf{ZFC}$ $n$ Woodin cardenales, pero puede que no sea posible encontrar una manera de "tejer" en un modelo con $\omega$ Woodins. El forzamiento de la extensión (una versión de Prikry obligando a) es necesario para que los. Por el contrario, para ver su interior, una modelo de la determinación, $\omega$ Woodins no es suficiente en general (a pesar de que son más que suficientes para la determinación proyectiva y algo más), y necesitamos ir a una interna de un modelo de forzar la extensión (esta es la "deriva del modelo de" construcción).

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Las mejores referencias de estos problemas son dos artículos publicados en el Manual de la Teoría de conjuntos:

• Grandes cardenales de determinación, por Woodin y Koellner, y
• Determinación de $L(\mathbb R)$, por Neeman.

Answer 2

También sabemos que es coherente en relación con infinitamente muchos Woodin cardenales y un mensurable sobre ellos que $L(\mathbb R)\models ZF+DC+AD$.