La ecuación diofantina $x^2+y^2=3z^2$

Question

He intentado resolver esta cuestión pero sin éxito:

Encuentra todas las soluciones enteras de la ecuación: $x^2+y^2=3z^2$

Sé que si la suma de dos cuadrados se divide por $3$ entonces los dos números se dividen por $3$ por lo que si $(x,y,z)$ es una solución, entonces $x=3a,y=3b$ . Tengo $3a^2+3b^2=z^2$ y eso implica $$ \left(\frac{a}{z}\right)^2+\left(\frac{b}{z}\right)^2=\frac{1}{3} $$ así que necesito encontrar las soluciones racionales de la ecuación $u^2+v^2=\frac{1}{3}$ y creo que no hay soluciones para eso porque $\frac{1}{3}$ no tiene una raíz racional, pero no sé cómo explicarlo.

Gracias

Answer 1

¿Qué le parece utilizar descenso infinito ?

Como para cualquier número entero $a\equiv0,\pm1\pmod4\implies a^2\equiv0,1$

Tenemos $x^2+y^2\equiv0\pmod3$

Así que.., $3|(x,y)$

Sea $x=3X,y=3Y$

etc.

Answer 2

En realidad hay una solución: $(x,y,z)=(0,0,0)$ . Lo que quieres probar es que ese es el sólo solución en números enteros. Y tuviste un buen comienzo, mostrando que $x^2+y^2=3z^2$ implica $3\mid x,y$ por lo que la ecuación a resolver pasa a ser $3a^2+3b^2=z^2$ con $x=3a$ y $y=3b$ .

El siguiente paso es observar que ahora tenemos $3\mid z$ de modo que la ecuación pasa a ser $a^2+b^2=3c^2$ con $z=3c$ . Pero esta es la ecuación original de nuevo, sólo que con diferente, más pequeño números. El "más pequeño" es lo importante: si $|x|+|y|+|z|\not=0$ entonces $0\not=|a|+|b|+|c|\lt|x|+|y|+|z|$ . Esto nos da un "descenso infinito" de soluciones, cada una con menor suma positiva de valores absolutos que su predecesora, lo cual es imposible, por lo que concluimos que no hay soluciones excepto para $(0,0,0)$ .

Answer 3

Sea $(x,y)=d$ y $\dfrac xX=\dfrac yY=d$

$$\implies d^2(X^2+Y^2)=3z^2\implies d|z,$$ $z=dZ$ (decir)

$$\implies X^2+Y^2=3Z^2$$

Ahora $X^2+Y^2\equiv1,2\pmod4$ como $X,Y$ ambos no pueden ser iguales

$$Z^2\equiv0,1\pmod4\implies3Z^2\equiv0,3\pmod4$$