Ejemplos de notación incorrecta y sus consecuencias

Question

Un ejemplo de mala notación matemática que me viene a la mente y ha causado complicaciones a lo largo de la historia es la notación para los números imaginarios. La notación original utilizada para representar números imaginarios era "$\sqrt{-1}$", donde el símbolo de la raíz cuadrada se utilizaba para indicar la raíz cuadrada de un número negativo. Sin embargo, esta notación puede ser confusa y engañosa, ya que las raíces cuadradas de números negativos no pueden ser representadas como números reales.

El matemático suizo Leonhard Euler, a mediados del siglo XVIII, propuso una nueva notación para representar números imaginarios. Introdujo la letra "$i$" para representar la raíz cuadrada de $-1$ (es decir, $i^2 = -1$). Esta notación simplificó y aclaró la representación de números imaginarios, permitiendo una mejor comprensión y manipulación de ellos en cálculos y ecuaciones.

La notación original, utilizando el símbolo de la raíz cuadrada para los números imaginarios, llevó a malentendidos y confusiones en las matemáticas. Por ejemplo, la gente podría pensar que $\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1} = \sqrt{-1\cdot{-1}} = \sqrt1$, lo cual es claramente incorrecto cuando se trabaja con números imaginarios. La introducción de la notación "$i$" para los números imaginarios ayudó a resolver estos problemas y permitió un mayor desarrollo en el campo de las matemáticas complejas.

Estoy buscando otros ejemplos de mala notación y sus malas consecuencias.

Naturalmente, lo malo y lo bueno dependen del ojo que lo ve, pero estoy ansioso por escuchar a los amigos de esta comunidad sobre el tema y sus ejemplos, opiniones y referencias donde el tema se estudie académicamente.

Answer 1

Cualquier notación que se haya vuelto indudablemente ambigua, como ¿significa el conjunto de números enteros no negativos, o solo positivos? se ha convertido en mala notación. No necesariamente por culpa de la misma.

Otro ejemplo en mi opinión es la barra invertida, que fue introducida (por lo que sé) por Hu para significar la sustracción de conjuntos: X \ Y = {x ∈ X | x ∉ Y}, aparentemente para evitar confusiones con el signo de menos.

Pero el signo de menos que se utilizaba para la sustracción de conjuntos parece no haber causado ninguna confusión que yo sepa. Mientras que la barra invertida también puede utilizarse para hacer el cociente de una estructura Y a la derecha por una subestructura X a la izquierda.

Answer 2

Siempre he sentido que la convención que escribe el numerador encima del denominador en fracciones es al revés. Las consecuencias no molestan a los matemáticos pero a veces hacen tropezar a los principiantes.

Cuando los niños encuentran por primera vez una fracción como $3/5$ piensan "dividir algo en $5$ partes y tomar $3$ de ellas". En esa descripción ves el $5$ antes que el $3$. Escribir "$3/5$" de manera contraintuitiva nombra el número que tomas antes de decirle al lector cuántas partes hay.

Cuando sumas fracciones, debes lidiar primero con los denominadores para encontrar uno común. Solo entonces piensas en los numeradores. Cuando enseñas eso a los niños en la escuela, requieres que lean de abajo hacia arriba.

En cálculo, $dy$ es (hablando en términos generales) el cambio en $y$ causado por el cambio $dx$ en $x$. Esa oración habla sobre la causa antes del efecto. No es así como funciona la causalidad.

Answer 3

• $\newcommand\E{\mathsf E}\newcommand\P{\mathsf P}\newcommand\Eb{\mathbb E}\newcommand\Pb{\mathbb P}\newcommand\R{\mathbb R}\newcommand\C{\mathbb C}$ChatGPT da algunos ejemplos de mala notación utilizados más o menos hace tiempo, incluyendo (i) números romanos; (ii) la notación original para logaritmos, "que usaba figuras geométricas y números decimales"; (iii) el uso de x tanto para multiplicación como para variables.

Creo que todos estarían de acuerdo en que los números romanos son inconvenientes para operaciones aritméticas u otros cálculos numéricos.

He visto el uso de (¡en cursiva!) $x$ para la multiplicación de números reales (!) ¡incluso en MO! — Algo así como $axb$, para denotar $ab$.

No puedo asegurar sobre la notación original para logaritmos. (Agregado más tarde: Tras una mayor investigación, ChatGPT dijo que su afirmación previa de que la notación original para logaritmos "usaba figuras geométricas y números decimales" era incorrecta.)

• De todas maneras, pienso que la notación comúnmente utilizada, $\log$, para $\ln$ es mala. En efecto, $\ln$ es más (y completamente) específico y más corto que $\log$. Por lo tanto, no veo una buena razón para usar $\log$ para $\ln$. (Sé que esta sugerencia puede despertar algunas pasiones.)

• Otro ejemplo de mala notación comúnmente utilizada es $\Pb$ y $\Eb$ para denotar la probabilidad y la expectativa. Es mejor usar $\P$ y $\E$, o simplemente $P$ y $E$, dejando la fuente en negrita para $\R$ y $\C$, y cosas por el estilo.

• También, la convención estándar solía ser escribir algo como $\E X$ y $\E XY$, sin ningún paréntesis o corchetes – con la comprensión aparente de que $\E$ es un operador lineal (e integral), y todavía comúnmente escribimos $Tx$ en lugar de $T(x)$ si $T$ es un operador lineal. Hoy en día, la gente mayormente escribe, supongo bajo la influencia de la informática, $\E(X)$ y $\E(XY)$, o $\E[X]$ y $\E[XY]$, lo que en algunos casos hace que las fórmulas sean difíciles de leer, con la necesidad de atravesar todos esos paréntesis o corchetes. (Comprendo que este comentario también puede despertar algunas pasiones.)

• Lamentablemente, se está volviendo más y más común (o tal vez incluso "cool") usar el mismo símbolo para denotar una variable aleatoria y cualquiera de sus valores. Esto claramente puede crear confusiones.

• Otra queja: el uso bastante común de $f(x)$ para denotar una función $f$. En una publicación en MO, incluso vi algo como $\langle f(x),g(x)\rangle$ para denotar $\langle f,g\rangle$. (Por supuesto, $\langle f(x),g(x)\rangle$ tendrá sentido solo si los valores de las funciones $f$ y $g$ están en un espacio de producto interno.)

• Otra queja es el uso común de algo como "para todo $0\le x\le1$", que me resulta imposible de leer en voz alta — en lugar de "para todo $x\in[0,1]$" o "para todo $x$ tal que $0\le x\le1$".

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Respuesta: Esperaba reacciones apasionadas a algunos de los puntos anteriores.

Al parecer, cualquier uso de ChatGPT sigue emocionando algunas pasiones fuertes. En este caso, un usuario (digamos CF) escribió en un comentario: "Parece que se perdió la ironía de que la lista generada está numerada con números romanos en ChatGPT." Sin embargo, debería haber quedado claro a partir de las tres primeras líneas de mi publicación que los números romanos en minúsculas (entre paréntesis) son míos. También intenté explicar esto en mi respuesta 10 minutos después de este comentario de CF. No ha habido respuesta de CF a mis repetidas solicitudes para tratar adecuadamente este comentario falso (que ha recibido 10 votos positivos).

Otro usuario escribió en un comentario (que ha recibido 8 votos positivos): "Intenté preguntarle a Chat GPT algunas preguntas sobre teoría de grupos ayer. Basura absoluta, respuestas equivocadas." No está del todo claro qué tiene que ver esto con mi publicación. Otro usuario escribió en un comentario: "cualquier vez que [ChatGPT] acierte un hecho es un accidente feliz." – En este caso, ChatGPT dio de inmediato 5 sugerencias, de las cuales al menos 2 eran buenas (creo); ¿es esto una mala puntuación para una respuesta inmediata? De todas formas, creo que lo que se debe juzgar principalmente es, no las herramientas utilizadas, sino la calidad de la publicación en sí misma – que es el producto final.

Mi queja sobre frases como "para todo $0\le x\le1$" también ha encontrado una oposición bastante apasionada. El mismo usuario CF sugirió que no había problema "en cambiar [la] gramática" para leer la frase similar "para todo $1\le k\le n$" como "para todo $k$ entre $1$ y $n$". Mi respuesta a esto fue que no puedo ver ninguna razón convincente para que tengamos nuestras propias reglas gramaticales aquí dadas alternativas perfectamente gramaticales como "para todo $x\in[0,1]$", "para todo $k\in[n]$", y "para todo $k\in\{1,\dots,n\}$" (más detalles sobre esto se pueden encontrar en mis comentarios, especialmente los más recientes hasta hoy, 23 de abril de 2023).

En general, mi respuesta ha recibido 8 votos positivos (¡gracias!) y 12 votos negativos. La puntuación general, -4, es decepcionante. Sin embargo, me alegra que algunos usuarios hayan encontrado útil mi publicación, en cierto grado. Gracias a todos los que leyeron esta publicación.