¿Son estos espacios de dimensión cero? ¿Cuáles son algunas caracterizaciones de los espacios de dimensión cero?

Question

Descargo de responsabilidad: Por espacio de dimensión cero entiendo un espacio topológico que tiene una base de conjuntos que son al mismo tiempo abiertos y cerrados en él.

En mi universidad, hablamos de la dimensión cero y de ejemplos de espacios de dimensión cero. Me pregunto si los siguientes espacios son de dimensión cero y cómo, en general, encontrar esto acerca de un espacio.

Sólo sé que un subespacio de un espacio de dimensión cero es de dimensión cero y que para cualquier espacio topológico compacto $X$ las nociones de dimensión cero y de dimensión cero fuerte coinciden. Además, si $X$ es un espacio compacto de Hausdorff, entonces $X$ es de dimensión cero si y sólo si es totalmente desconectado.

Pero nada de esto parece ser muy útil, así que agradeceré cualquier recomendación sobre qué usar.

Pregunta: ¿Son estos espacios de dimensión cero?

1. $\omega \times \mathbb{R}$

2. $\omega \times \mathbb{R}^n$

3. $\omega \times S$ ( $S$ = el círculo $S^1$ )

4. $\omega \times S_n$ , $n > 1$

5. $R^n, n > 1$ (espacios euclidianos de dimensión superior)

Creo que el 5. está claro - porque $\mathbb{R}$ es no cero-dimensional, $\mathbb{R}^n$ tampoco es de dimensión cero (es una propiedad hereditaria).

Por lo demás, no estoy muy seguro. Si $\mathbb{R}$ es no de dimensión cero, ¿implica algo sobre el producto con otros espacios?

Gracias por sus consejos o por cualquier fuente para leer y encontrar respuestas a esto.

Answer 1

Ninguno de sus espacios es de dimensión cero. $X\times Y$ es de dimensión cero si $X$ y $Y$ son (si ambos son no vacíos). Los espacios factoriales se incrustan como subespacios en el producto, etc. Y, por supuesto, cualquier espacio conexo como $\Bbb R^n$ , $S$ o $S_n$ no es de dimensión cero. El $\omega$ (como un espacio discreto) es, pero eso no es suficiente ..