Ejemplo de una función y de la transformada de Fourier que desaparecen en algunos conjuntos

Question

¿Puede alguien darme un ejemplo de una función f $\in L^2(\mathbb{R}^d)$ y su transformada de Fourier desaparecen en conjuntos abiertos no vacíos? Creo que la propia f no puede tener soporte compacto, porque en este caso, su transformada de Fourier es analítica, no puede tener punto de acumulación. Entonces no tengo ni idea de qué hacer a continuación. Gracias por cualquier sugerencia.

Answer 1

Puede ser más difícil en el caso $d=1$ pero es fácil si $d > 1$ . Tomemos $d=2$ para simplificar, con $f(x,y) = g(x) \mathscr F^{-1}(g)(y)$ donde $g \in \mathbb L^2(\mathbb R)$ que desaparece en un intervalo $J$ . Entonces $f$ desaparece en $J \times \mathbb R$ mientras que $\mathscr F (f) (p,q) = \mathscr F(g)(p) g(q)$ desaparece en $\mathbb R \times J$ .