Familia insesgada de estimadores y varianza.

Question

Dado $X_1, \dots, X_n$ muestra aleatoria simple con distribución $F_X$ -desconocido-, tengo que estimar $\mu = \mathrm{E}(X)$ .

Ahora, dada la familia de estimadores $\tilde{T} = \bigg\{\displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_iX_i : \ \displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i = 1\bigg\}$ .

Tengo que (1) Demostrar que si $\hat{\mu} \in \tilde{T},$ entonces $\hat{\mu}$ es insesgado; y (2) Demostrar que para cada estimador $\beta \in \tilde{T}$ , $\mathrm{Var}(\bar{X_n})<\mathrm{Var}\{\beta\}$ .

Aquí está mi intento:

(1) $\hat{\mu} \in \tilde{T} \implies \hat{\mu} = \displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_iX_i \implies \mathrm{E}(\hat{\mu}) = \mathrm{E}\bigg(\displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_iX_i\bigg) = \displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i\mathrm{E}(X_i)$ .

Ahora bien, puesto que $X_1,\dots, X_n$ es una media muestral, entonces todas tienen la misma distribución, digamos que $X$ . Sigue $\mathrm{E}(\hat{\mu}) = \displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i\mathrm{E}(X_i) = \displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i\mathrm{E}(X) = \mathrm{E}(X)\displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i = \mathrm{E}(X)$ y a continuación $ \hat{\mu}$ ¿Indiferente?

(2) Sé que $\mathrm{V}(\bar{X}) = \displaystyle\frac{\sigma^2}{n}$ si $\mathrm{V}(\beta) < \displaystyle\frac{\sigma^2}{n}$ y puesto que $\beta \in \tilde{T}$ tenemos $\beta = \displaystyle\sum_{i=1}^n \beta_iX_i$ para $\beta_i$ escalares, entonces $\mathrm{V}(\beta) =\mathrm{V}\bigg(\displaystyle\sum_{i=1}^n \beta_iX_i\bigg) = \displaystyle\sum_{i=1}^n \beta_i^2\mathrm{V}(X_i) > \displaystyle\sum_{i=1}^n \mathrm{V}(X_i) = n\sigma ^2$ y debe ser $n\sigma ^2 < \displaystyle\frac{\sigma^2}{n}$ .

Y se deduce que la suposición era errónea.

Answer 1

Corrígeme si no te he entendido bien, pero no has puesto ninguna restricción a los coeficientes.
Así que suponiendo que $\mathrm{V}(\bar{X}) = \displaystyle\frac{\sigma^2}{n}$ se puede decir que si $\beta \in \tilde{T}$ entonces $\mathrm{V}(\beta) = \displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i^2\mathrm{V}(X_i) = \sigma ^2\displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i^2 $ . Y $\mathrm{V}(\beta) = \mathrm{V}(\bar{X}) \ n \ \displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i^2$ . Así que si $n \ \displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i^2>1 \ \text{or} \ n>\frac{1}{\sum_{i=1}^n \alpha_i^2}$ entonces $\mathrm{V}(\beta)>\mathrm{V}(\bar{X})$ . Y la primera parte, como he dicho parece correcta.