En mecánica clásica construyes una acción (que implica un Lagrangiano en coordenadas generalizadas arbitrarias, un Hamiltoniano en coordenadas canónicas [para hacer tu EOM más " cómodo y simétrico "]), luego extremándola se obtienen las ecuaciones del movimiento. Alternativamente, se puede encontrar una EDP de primer orden para la acción como una función de sus puntos finales para obtener la ecuación de Hamilton-Jacobi, y la formulación del corchete de Poisson es simplemente un medio de cambiar las variables en su EDP a fin de garantizar que sus nuevas variables siguen siendo características de la EDP H-J (es decir, soluciones de la EOM - ver Nº 37 ). Todo eso tiene sentido para mí, estamos extremando una funcional para obtener la EOM o resolviendo una EDP que implícitamente asume que ya tenemos la solución (trayectoria de la partícula) dentro de la acción que lleva a la EDP. Sin embargo en mecánica cuántica, al menos en la canónica cuantificación Creo que, aparentemente, sólo tomas el Hamiltoniano (el Lagrangiano en coordenadas canónicas) y lo mezclas con ideas de variables cambiantes en la representación de la ecuación de Hamilton-Jacobi de tu problema para asegurarte de que las coordenadas son características de tu ecuación de Hamilton-Jacobi (es decir, las soluciones de la EOM), luego pones estas ideas en algún espacio nuevo por alguna razón (espacio de Hilbert) y tienes una teoría de QM. Basándome en lo que he escrito, literalmente estás haciendo exactamente lo mismo que haces en mecánica clásica al principio, estás colando ideas clásicas y por alguna razón conviertes las cosas en un álgebra - no veo por qué esto es necesario, o por qué no puedes hacer exactamente lo que haces en mecánica clásica . Además creo que mis preguntas tienen algún mérito cuando notas que La derivación original de Schrodinger implicaba un funcional de acción que utilizaba la ecuación de Hamilton-Jacobi. De nuevo vemos a Schrodinger haciendo algo similar a las ideas modernas, aquí está mezclando mal la ecuación de Hamilton-Jacobi con la extremización de un funcional de acción en lugar de simplemente extremar el lagrangiano o hamiltoniano original, de forma análoga a la moderna QM mezclando mal el hamiltoniano con cambios de variables en la EDP H-J (a través de los corchetes de Poisson).
¿Qué ocurre en este gran rompecabezas? ¿Por qué tenemos que empezar a mezclar todas nuestras piezas, por qué no podemos simplemente copiar la mecánica clásica exactamente - estamos en algún nivel de todos modos, por lo que puedo ver ... Puedo entender que se hagan estas cosas si sólo son trucos convenientes, del mismo modo que se podría decir que invocar la EDP H-J es sólo un truco para tratar con Lagrangianos y Hamiltonianos, pero estoy bastante seguro de que la pretensión es que el proceso de cuantización simplemente debe hacerse, un paso es absolutamente necesario, simplemente no se pueden seguir las ideas clásicas, aunque por lo que he dicho básicamente estamos haciendo lo clásico - de una manera indirecta. Probablemente tiene algo que ver con los números complejos, al menos parcialmente, como se menciona en la nota de la página 276 aquí pero no tengo ni idea de cómo ver eso y la derivación original de Schrodinger no los asumió, así que estoy confundido al respecto.
Para hacer explícitas mis preguntas sobre la cuantización si no son evidentes por lo que he escrito arriba:
a) ¿Por qué hay que hacer un álgebra para mezclar el hamiltoniano con los corchetes de Poisson?
(En esta pregunta se hace hincapié en la interpretación de los hamiltonianos como lagrangianos con coordenadas diferentes, y los corchetes de Poisson como condiciones para cambiar las variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi, de forma que se haga explícita la relación con CM).
b) ¿Por qué no se puede modelizar la mecánica cuántica simplemente extremando un Lagrangiano, o resolviendo una EDP H-J?
(Por mi explicación anterior, parece que la cuantización introduce estas ideas en su formalismo, simplemente mezclándolas en un espacio vectorial).
c) ¿Qué relación guardan los números complejos con este proceso?
(¿Son la razón por la que la mecánica cuántica difiere radicalmente de la mecánica clásica. Si es así, ¿cómo se sale del procedimiento como inevitable?)
Pido disculpas si no ha quedado claro en lo que he escrito, pero creo que lo que he escrito es absolutamente esencial para mi pregunta.
Edita: Piezas b) & c) han sido bien contestadas, así parte a) es todo lo que queda, y su solución parece estar en este que deriva la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo (TDSE) a partir de la TISE. En otras palabras, la TISE se deduce aparentemente a partir de principios de la mecánica clásica, como lo hizo Schrodinger, y en algún momento de la complicada derivación a partir de la página 12 los autores llegan a un punto en el que las suposiciones de la mecánica cuántica se hacen absolutamente necesarias, y aparentemente ésta es la razón por la que uno asume toneladas de axiomas y se siente cómodo construyendo espacios de Hilbert, etc... Por lo tanto, dilucidar cómo esta derivación resulta incontrovertiblemente en supuestos mecánicos cuánticos debería justificar por qué la cuantización es necesaria, pero no puedo descifrar esto a partir de mi lectura mal entendida de la derivación. Entender esto es la clave de la QM aparentemente, a no ser que me equivoque (altamente probable) así que si alguien puede dar una respuesta a la luz del contenido de este artículo sería fantástico, ¡gracias!
