$\newcommand\Q{\mathbf{Q}}$ $\newcommand\Qbar{\overline{\Q}}$ $\newcommand\Gal{\mathrm{Gal}}$ $\newcommand\C{\mathbf{C}}$ $\newcommand\Sym{\mathrm{Sym}}$ $\newcommand\E{\mathcal{E}}$ $\newcommand\Betti{\mathrm{Betti}}$ $\newcommand\Z{\mathbf{Z}}$ $\newcommand\Hom{\mathrm{Hom}}$ $\newcommand\T{\mathbf{T}}$ Para responder a esta pregunta, lo mejor sería empezar por lo siguiente:
Q. ¿Qué saben las representaciones de Galois adjuntas a una variedad sobre la variedad?
Para hacer esto más preciso, introduzcamos alguna notación. Fijemos un primo $p$ y un entero $n$ . Sea $X$ sea un esquema suave adecuado sobre $\Q$ y deje $V = H^n_{et}(X/\Qbar,\Q_p)$ denotan el $n$ grupo de cohomología etale de $X$ . Las propiedades básicas y fundamentales de la cohomología etale nos dicen que:
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$V$ es un espacio vectorial de dimensión $H^n_{\Betti}(X(\C))$ donde $H_{\Betti}$ denota la cohomología de Betti (o singular), y $X(\C)$ denota los puntos complejos de $X$ pensamiento como un colector topológico.
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$V$ (con el $p$ -) tiene una acción continua de $G_{\Q}:=\Gal(\Qbar/\Q)$ .
Grothendieck y Serre conjeturan además que la $G_{\Q}$ -representación $V$ es semisimple. La conjetura más fuerte que se puede hacer es preguntarse si el functor de variedades proyectivas lisas sobre $\Q$ a semi-simple $G_{\Q}$ -representaciones (o la recopilación de todas esas representaciones para $n \le 2 \cdot \mathrm{dim}(X)$ ) es totalmente fiel. Sin embargo, esto es mucho pedir, por las siguientes razones.
(i). La categoría objetivo es semisimple, pero la categoría de variedades dista mucho de ser semisimple. (En particular, la existencia de un mapa $X \rightarrow Y$ no implica la existencia de un mapa no trivial $Y \rightarrow X$ .)
(ii). Las variedades construidas de forma combinatoria a partir de espacios proyectivos (piénsese en las variedades tóricas tóricas) tienden a tener grupos de cohomología etale indistinguibles de productos de espacios proyectivos. Esto se debe a que sus grupos de cohomología están generados por ciclos geométricos, sobre los que Galois actúa de una manera bien entendida (esencialmente por alguna potencia del carácter ciclotómico).
En cierto sentido, son manifestaciones de la misma razón: Una correspondencia en $X \times Y$ da lugar a una clase de cohomología en $H^*(X \times Y)$ entonces por la fórmula de Künneth, esto conduce a una relación entre la cohomología de $X$ y $Y$ incluso cuando no exista necesariamente ningún no trivial de $X$ a $Y$ (o viceversa). Para dar cuenta de esto, se puede intentar tomar la categoría cociente de la categoría de variedades algebraicas en la que se permite "descomponer" las lisas suaves en trozos, dada la existencia de ciertas correspondencias en $X$ . Hay varias maneras de hacerlo. Conjeturalmente, estas construcciones son todas esencialmente iguales, y la categoría correspondiente es la categoría de motivos puros. La conjetura de Tate dice ahora que la cohomología etale es un functor totalmente fiel de motivos puros a semisimples $G_{\Q}$ -representaciones.
Ejemplo Si $E$ es una curva elíptica sobre $\Q$ y $n = 1$ entonces el grupo de cohomología etale $V$ es el (dual) de la representación habitual adjunta a la $p$ -módulo de Tate de $E$ . Supongamos que $E'$ es otro curva elíptica sobre $\Q$ con primer grupo de cohomología etale $V'$ . Para las curvas, la teoría de los "motivos" es esencialmente la teoría de las variedades abelianas. (En términos más generales, la teoría de $H^1$ es esencialmente la teoría de los abelios ya que, para cualquier variedad propia $X$ existe un isomorfismo $H^1(X) \simeq H^1(A(X))$ donde $A(X)$ es el Albanés de $X$ .) La conjetura de Tate en este caso dice que $$\Hom(E,E') \otimes \Q_p \rightarrow \Hom_{G_{\Q}}(V,V')$$ es un isomorfismo. Así es como verás la conjetura de Tate enunciada para curvas elípticas elípticas, por ejemplo, en AOEC. La conjetura de Tate para variedades abelianas es un teorema de Faltings. (Sugerencia: para entender de qué trata realmente la conjetura de Tate, y por qué es difícil, deberías pensar en el caso especial de las curvas elípticas).
Si ahora volvemos a nuestra pregunta, podemos decir (tautológicamente) lo siguiente: suponiendo la conjetura de Tate, la cohomología etale conoce el motivo correspondiente a la variedad original. ¿Qué significa esto realmente? Una forma de pensar en los motivos es como una ``teoría de cohomología universal''. En particular, podemos recuperar a partir del motivo no sólo los grupos de cohomología etale, sino también los grupos algebraicos de cohomología de Rham. de Rham algebraicos. Recordemos que la cohomología de de Rham es otra teoría cohomológica que da espacios vectoriales de la dimensión "correcta" para una variedad propia lisa $X/\Q$ . Los grupos de cohomología de Rham no tienen representaciones de Galois asociadas, pero ellos do tienen una filtración de Hodge. En $\C$ , si se toma el gradado asociado de la filtración de Hodge, se recupera la descomposición de Hodge: $$H^n_{dR}(X,\C) = \bigoplus_{p+q=n} H^{p}(\Omega^q_X).$$ Las dimensiones de este último espacio se denominan números de Hodge $h^{pq}$ . Entonces, asumiendo la conjetura de Tate, de $V$ podemos recuperar el subyacente, a partir del cual podemos reconstruir la cohomología de De Rham, y luego los números de Hodge. La conjetura de Tate parece muy difícil. Sin embargo, Grothendieck se preguntó lo siguiente: dado $V$ ¿podemos recuperar directamente la (algebraica $p$ -ádica) de Rham junto con su filtración sin ¿construir primero el motivo? Esta era una gran pregunta, y la respuesta (¡sí!) constituye uno de los mayores logros de $p$ -Teoría de Hodge. No puedo hacer aquí más que una descripción caricaturesca. Para ello, primero hay que recordar la historia mucho más clásica que conecta la cohomología de de Rham con la cohomología (singular) de Betti. Ambos grupos pueden definirse naturalmente como espacios vectoriales sobre $\Q$ (hay que definir la cohomología de Rham de forma correcta), pero el isomorfismo que relaciona estos espacios proviene de integrar formularios en ciclos. Sin embargo, estas integrales ar números trascendentales, por lo que para pasar de la cohomología de Betti a la de Rham primero hay que tensor con un campo mayor que $\Q$ que contiene todos estos periodos (normalmente, uno simplemente tensa con $\C$ ). Para pasar de la cohomología etale a la cohomología algebraica de De Rham, se podría pedir un anillo periódico en el que podamos comparar ambos grupos. En esta configuración refinada, el anillo de período debería tener tanto una acción de Galois como una filtración. La versión más básica de un anillo periódico es $B_{HT}$ específicamente, $$B_{HT} := \bigoplus_{\Z} \C_p(n),$$ donde $\C_p$ es la finalización de $\Qbar_p$ y $\C_p(n)$ es $\C_p$ retorcido (como módulo local de Galois) por el $n$ del carácter ciclotómico. El anillo $B_{HT}$ tiene una filtración natural (de hecho, es incluso graduada). Ahora podemos considerar $$D_{HT}(V) = (V \otimes B_{HT})^{\Gal(\Qbar_p/\Q_p)}.$$ El grupo de Galois actúa sobre ambos $V$ y $B_{HT}$ . El resultado es un módulo graduado (y por tanto filtrado). Por otra parte, también se puede considerar el anillo $B_{HT} \otimes H^n_{dR}(X/\Q_p)$ de forma natural para dar sentido a la filtración correspondiente. Un importante teorema de Faltings dice entonces que $$H^{n}(X/\Qbar_p,\Q_p) \otimes B_{HT} = H^n_{dR}(X/\Q_p) \otimes B_{HT},$$ y $D_{HT}(V) = H^n_{dR}(X/\Q_p)$ . En particular, a partir de un Galois geométrico podemos recuperar la filtración de Hodge y los números de Hodge.
Formas modulares. El isomofismo de Eichler-Shimura relaciona formas modulares de peso $k \ge 2$ a $H^1(X_0(N),\Sym^{k-2}\Q)$ . Si $k = 2$ Esto es sólo $H^1(X_0(N),\Q)$ . El álgebra de Hecke $\T$ actúa sobre $H^1_{\Betti}(X_0(N),\Q)$ y (puesto que se construye functorialmente) también en la cohomología etale $H^1(X_0(N),\Q_p)$ . Ahora la descomposición de Hodge de $H^1$ es $H^1 = H^{0,1} \oplus H^{1,0}$ donde $h^{0,1} = h^{1,0}$ es el género de $X_0(N)$ . El álgebra de Hecke descompone la cohomología en trozos bidimensionales correspondientes a las representaciones de Galois asociadas a las eigenformas; resulta que cada trozo bidimensional contiene una dimensión de $H^{0,1}$ y una dimensión de $H^{1,0}$ . El resultado de Faltings arriba nos dice que podemos leer que $h^{0,1} = h^{1,0} = 1$ directamente de la representación de Galois.
Para $k > 2$ recordemos que (cuestiones técnicas aparte) existe una curva elíptica universal $\E \rightarrow X_0(N)$ . La variedad Kuga-Sato es (de nuevo, a grandes rasgos) La $k-1$ variedad dimensional $K = \E \times_X \E \ldots \times_X \E$ donde $X = X_0(N)$ . Existe un mapa natural $\pi: K \rightarrow X$ . El sistema local $\Sym^{k-2}(\Q^2_p)$ se trivializa sobre $K$ y así, utilizando el teorema del cambio de base propio, Deligne demuestra que $H^1(X_0(N),\Sym^{k-2}\Q_p)$ es un subcociente del grupo de cohomología $H^{k-1}(K,\Q_p)$ . (Advertencia: esto requiere algo más que un simple argumento cohomológico formal, también requiere algún truco con los pesos para demostrar que los términos en diferentes diagonales la secuencia espectral de Leray no se "mezclan", y por lo tanto la secuencia degenera). La representación de Galois asociada a una forma modular es ahora una pieza bidimensional de $H^{k-1}(K,\Q_p)$ . Faltings demuestra que el correspondiente "trozo" de cohomología de de Rham vista por esta representación es $H^{0,k-1} \oplus H^{k-1,0}$ . En particular, la representación tiene números de Hodge $h^{0,k-1} = 1$ y $h^{k-1,0} = 1$ .
Dada una representación de Galois $V$ se puede torcer $V$ por el carácter ciclotómico. ¿Cómo afecta esto a la descomposición de Hodge? Se puede calcular por el lado de Hodge viendo qué ocurre con la cohomología de $X \times \mathbf{G}^1_m$ y comparando con la fórmula de Künneth. Resulta que $h^{p,q}(V(n)) = h^{p-n,q-n}$ . Por lo tanto, si sólo conoce $V$ hasta el giro, todavía recuperamos alguna información sobre los números de Hodge.
Volviendo a las formas modulares. Los coeficientes $a_p$ determinar la representación de Galois, por Cebotarev. Una forma modular de peso $k$ tiene números de Hodge $h^{0,k-1} = h^{k-1,0} = 1$ . El determinante de la representación es el $k-1$ ª potencia del carácter ciclotómico (hasta un carácter finito) que puede leerse a partir del "grado". Torciendo, podemos cambiar fácilmente el determinante, y cambiar los números de Hodge a $h^{-d,k-d-1} = h^{k-d-1,-d} = 1$ . Sin embargo, está claro que no podemos torcer para que $h^{1,0} = h^{0,1} = 1$ a menos que $k = 2$ . Así, dada una forma modular de peso $k > 2$ no puede asociarse a una curva elíptica incluso después de retorcerla. Esta es la respuesta de Kevin.
En segundo lugar, cualquier motivo tiene (conjeturalmente) un $L$ -función. La receta para construir este $L$ -la función se divide en dos partes. La primera se refiere a los factores en primos finitos, que dan lugar al producto de Euler. La segunda se refiere a los primos infinitos, que dan lugar a los factores Gamma. La información en $\infty$ sin embargo, (por la conjetura de Tate) puede leerse a partir de la representación de Galois, y la receta de Deligne muestra que dependerá exactamente de de los números de Hodge del motivo, y viceversa. Además, la torsión por $\epsilon^k$ alguna potencia del factor ciclotómico tiene el efecto de sustituir $L(s)$ por $L(s+k)$ (y desplazando el valor central correspondiente) En particular, dada una curva elíptica, se conocen los factores Gamma (porque se conoce la descomposición de Hodge de $E$ ), y se ve que incluso después de retorcer no se pueden obtener factores Gamma que "se parezcan" a los factores Gamma asociados a una forma modular de peso distinto de $2$ . Esta es la respuesta de GH.
En términos más generales, las conjeturas aritméticas de tipo Langlands implican que todos los motivos deben ser "automórficos", y que la estructura de Hodge del motivo determina el tipo infinito de la forma automórfica, que a su vez determina los factores Gamma. Así que, al menos moralmente, dado un motivo irreducible puro $V$ sabemos que si es automórfica, debe ser automórfica de un peso particular determinado por la geometría subyacente de $V$ .
Por supuesto, incluso antes del resultado de Faltings, uno tenía suficiente fe en términos de cómo estas cosas estaban conectadas como para estar muy seguro de que las curvas elípticas sobre $\Q$ debe corresponder exactamente a las dos formas de peso - la observación de GH de que "Fue un hecho experimental que los factores gamma son siempre los mismos, de ahí que se formulara la forma precisa de la conjetura de modularidad, que luego resultó ser correcta, es decir, fue demostrada por grandes esfuerzos de grandes matemáticos" parece acertada.
Problemas relacionados. Dada una eigenforma modular $f = \sum a_n q^n$ de peso cuatro (en la normalización aritmética), cabe preguntarse: ¿es posible demostrar que no existe un peso dos de peso $g = \sum b_n q^n$ donde $a_p = p b_p$ para todos los primos $p$ sin utilizando $p$ -¿teoría de Hodge? Creo que no es tan fácil. Por ejemplo:
(i) El enfoque aritmético: El peso $4$ formulario $f$ tendría la propiedad de que no es ordinaria en todos los primos, ya que claramente $a_p = p b_p \equiv 0 \mod p$ . Se conjetura que un conjunto de primos de densidad uno son modulares (o $1/2$ si $f$ tiene CM). Sin embargo, aún se desconoce si alguna forma de peso $\ge 4$ tiene un solo primo ordinario.
(ii) El enfoque analítico: ¿Cuáles son las distribuciones de los coeficientes de peso $2$ y $4$ ¿Cómo son los formularios? Sato-Tate dice que los coeficientes normalizados satisfacen una precisa precisa (¡ahora un teorema!). Sin embargo, los coeficientes "normalizados" de $f$ y $g$ son por construcción exactamente iguales, así que Sato-Tate no dice nada. En particular, es difícil ver cualquier estimación analítica de las funciones que implican la $a_p$ ser capaz de distinguir dos clases de números con el mismo distribución subyacente. Un argumento relacionado: El límite de Hasse en peso cuatro se cumple con $p b_p$ si y sólo si el límite Hasse de peso dos se cumple en $b_p$ .
Resumen. Las conjeturas surgen orgánicamente de la heurística y el cálculo. Se "sabía" que las curvas elípticas debían asociarse al peso dos formas mucho antes de que de que se pudiera demostrar formalmente que no eran asociados a giros de peso $4$ formas. Para demostrar este último hecho, hay que utilizar $p$ -Teoría de Hodge.
(* No estoy seguro de mucho aquí, así que estoy poniendo esta wiki de la comunidad. Además, no hay mención de peso 1 o enteros medio. Cambia lo que sea necesario cambiar, o en los casos extremos, pacíficamente dejar un comentario para eliminar...)
