¿Es posible escribir cualquier abeliano finito $p$ -grupo como $\mathbb{Z}_p^n/\mbox{im }(A)$ para algunos $n\times n$ matriz $A$ en $\mathbb{Z}_p$ ? Aquí $\mathbb{Z}_p$ denota el $p$ -enteros radicales.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí. $A$ es un abeliano finito $p$ -grupo, entonces $A$ es una $\mathbf{Z}_p$ -módulo. Supongamos que $A$ es generado por $n$ elementos como $\mathbf{Z}_p$ -(equivalentemente como grupo abeliano), digamos $a_1,\ldots,a_n$ . Entonces obtenemos una suryección $\pi:e_i\mapsto a_i:\mathbf{Z}_p^n\rightarrow A$ ( $e_i$ que son los vectores de base estándar). El núcleo $K$ de $\pi$ es un $\mathbf{Z}_p$ -submódulo de $\mathbf{Z}_p^n$ y puesto que $\mathbf{Z}_p^n/K$ es finito, $K$ es (necesariamente libre) de rango $n$ en $\mathbf{Z}_p$ . Sea $x_1,\ldots,x_n$ sea una base para $K$ y que $A$ sea el $n\times n$ matriz sobre $\mathbf{Z}_p$ tal que $Ae_i=x_i$ para $1\leq i\leq n$ . Entonces, viendo $A$ como el mapa lineal $x\mapsto Ax$ tenemos $\mathrm{im}(A)=K$ Así que $A\cong\mathbf{Z}_p^n/K=\mathbf{Z}_p^n/\mathrm{im}(A)$ .
