El conjunto delimitado en un colector riemanniano es relativamente compacto

Question

Supongamos que $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ es una sucesión acotada en una variedad riemanniana de dimensión finita. ¿Puedo decir que este conjunto es relativamente compacto?

En $R^n$ esto es cierto por el teorema de Bolzano-Weierstrass. No se me ocurre cómo trasladar ese argumento a cualquier variedad riemanniana de dimensión finita.

Answer 1

Supongamos que $M$ está conectado. No se puede trasladar ese argumento, ya que no es cierto. Por ejemplo, si $(M, g) = \{x\in \mathbb R^n: |x| <1\}$ con la métrica euclidiana, se puede construir fácilmente una secuencia acotada que no converge.

Hay que suponer que $M$ es completa (con respecto a la métrica $d$ inducida desde el $g$ ). Por el teorema de Hopf-Rinow, esto es lo mismo que el mapa exponencial $\exp_p$ se define en el conjunto $T_pM$ para todos $p\in M$ . Ahora dejemos que $\{x_n\}$ sea una secuencia acotada en $M$ . Luego está $p\in M$ para que $d(x_n, p) <C$ para todos $n$ . Así, podemos encontrar $v_n\in T_pM$ para que $\exp_p(v_n) = x_n$ y $\| v_n\| < C$ . Por el teorema habitual de Bolzano-Weiestrauss sobre $\mathbb R^n$ , $v_n \to v$ para algunos $v\in T_pM$ . Por continuidad de $\exp_p$ , $\{x_n\}$ converge a $\exp_p(v) \in M$ .