Demostración del criterio secuencial para los límites

Question

Sea $f:D\to\mathbb R$ y que $c$ sea un punto de acumulación de $D$ . Entonces
$(i)\lim_{x\to c}f(x)=L$ si $(ii)$ para cada secuencia $(s_n)$ en $D$ que converge a $c$ con $s_n\neq c$ la secuencia $(f(s_n))$ converge a $L$

Me parece bien una dirección.

Para demostrar la otra dirección (tomando el enunciado contrapositivo):

Supongamos que $L$ no es un límite de $f$ en $c$ . Encontrar una secuencia $s_n$ en $D$ tal que $s_n$ converge a $c$ pero $(f(s_n))$ no converge a $L$

Desde $L$ no es un límite de $f$ en $c$ , $\exists\epsilon>0$ tal que $\forall\delta>0$ $\exists x\in D$ tal que $0<|x-c|<\delta$ implica $|f(x)-L|\ge\epsilon$ .

Ahora bien, el libro que estoy leyendo, "Analysis with an introduction to proof", de Steven Lay, sigue así:

" En particular, para cada $n\in\mathbb N$ existe $s_n\in D$ con
$0<|s_n-c|<1/n$ tal que $|f(s_n)-L|\ge\epsilon$ "

De este modo, exhibe $(s_n)$ como la secuencia requerida.

No estoy seguro de por qué es necesario que $\delta$ debe estar relacionado con $1/n$

. . .

ok, quiero demostrar que existe una secuencia $s_n$ que converge a $c$ tal que $(f(s_n))$ no converge a $L$

Sea $s_n$ cubrir a $c$ . Entonces $\forall \delta>0 \exists N\in \mathbb N$ tal que $n\ge N \to |s_n-c|<\delta$

Ahora quiero hacer esta declaración en:

$\forall \delta>0 \exists s_n \in D$ tal que $|s_n-c|<\delta$

por favor, detalla cómo ocurre.

Answer 1

El motivo de la $1/n$ es que está tratando de producir una secuencia que, por construcción, converge a $c$ . Funcionaría igual de bien si sustituyera $1/n$ con cualquier otra secuencia de números positivos que converjan a $0$ . Diga $1/log(n)$ o $0.5^n$ .

En cuanto al argumento que has dado, es una buena prueba de una afirmación diferente. A saber, que si $L$ es el límite, entonces todas las secuencias deben converger a $L$ . Pero no dice nada de lo que ocurre si $L$ no es el límite. (Intenta demostrar que si $L$ no es el límite, entonces alguna secuencia $s_n$ converge a $c$ pero $f(s_n)$ no converge a $L$ .).

Answer 2

Esto es para ver si lo estoy entendiendo bien, así que por favor critica mi respuesta.

Mostrar $\lnot(ii)$ Quiero encontrar una secuencia $s_n$ tal que $s_n$ converge a c pero $f(s_n)$ no converge a L, dado $\lnot(i)$ .

$\lnot(i)$ establece que $\exists\epsilon>0$ tal que $\forall\delta>0$ $\exists x\in D$ tal que $0<|x-c|<\delta$ implica $|f(x)-L|\ge \epsilon$

Sea $s_n$ sea una sucesión convergente tal que $\forall n \in \mathbb N$ $[s_n\in D]$ . Entonces $\forall\delta>0$ $\exists N\in \mathbb N$ tal que $n \ge N$ implica $0<|s_n-c|<\delta$ (ya que $\forall n \in \mathbb N$ $s_n \neq c$ ).

Dado que la existencia en $x \in D$ en $\lnot (i)$ depende de $\delta$ Ahora debo construir la secuencia de forma que $\lnot (i)$ es válido para $n$ en lugar de $n \ge N$ que requiere $\delta$ con el índice de la secuencia.

Así, por $\lnot (i)$ para $\delta_n=1/n$ ,

$\exists s_1$ tal que $0<|s_1-c|<\delta_1=1$

$\exists s_2$ tal que $0<|s_2-c|<\delta_2=1/2$

$\exists s_3$ tal que $0<|s_3-c|<1/3$

...

$\exists s_n$ tal que $0<|s_n-c|<1/n$

Desde $\forall n \in \mathbb N$ $s_n \in D$ , $\lnot (i)$ se aplica y $0<|s_n-c|<1/n=\delta_n$ implica $|f(s_n)-L| \ge \epsilon$