Encontrar la continuidad de una función con parámetros

Question

Para qué valores de los parámetros $\alpha,\beta$ es la función continua:

$$f(x)= \begin{cases}\begin{align} &(1+\alpha x)^{\alpha /x} & x>0 \\ &\beta &x=0 \\ & e(1+e^{1/x})&x<0 \\ \end{align}\end{cases}$$

En primer lugar encontrar el límite de la parte sin parámetros como va a cero, es $e$ porque el límite es para $-1<x<0$ que hace que $e^{1/x}=0$ .

Así que $\beta=e$ .

Ahora necesito encontrar un $\alpha$ que hará que esto sea verdad: $\lim_{x\to 0^+}(1+\alpha x)^{\alpha /x}=e$ .

Pensé en convertirlo en el $e$ identidad: $(1+\frac1x)^{x}$ . Probé todo tipo de combinaciones de números positivos y negativos y fracciones con $x$ pero nada parece funcionar, y ahora veo que no funcionará ya que esa identidad es para $x\to \infty$ .

Answer 1

Buen trabajo con el problema hasta ahora. Ahora, observe que, si dejamos que $y = \frac{1}{x}$ entonces

$$(1 + \alpha x)^{\alpha / x} = \left(1 + \frac{\alpha}{y}\right)^{\alpha y}$$

y como $x \to 0^+$ (ya que $x > 0$ para este límite), tiene $y \to \infty$ . Así que ya casi lo tienes. A ver si puedes averiguar el resto, si no, está en la pista de abajo.

$\left(1 + \frac{\alpha}{y}\right)^{\alpha y} = \left(\left(1 + \frac{\alpha}{y}\right)^{ y}\right)^\alpha \to \left(e^\alpha\right)^\alpha = e^{\alpha^2}$