¿Cuándo es el espacio de Sobolev un subconjunto de las funciones continuas?

Question

Si dejamos que $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ con $d=1,2,3$ y definir $\mathcal{H}^1(\Omega)=(w\in L_2(\Omega): \frac{\partial w}{\partial x_i}\in L_2(\Omega), i=1,...,d)$ . Mi tutor ha repetido varias veces:

1. Si $d=1$ entonces $\mathcal{H}^1(\Omega)\subset\mathcal{C}^0(\Omega)$ .
2. Si $d=2$ entonces $\mathcal{H}^2(\Omega)\subset\mathcal{C}^0(\Omega)$ pero $\mathcal{H}^1(\Omega)\not\subset\mathcal{C}^0(\Omega)$ .
3. Si $d=3$ entonces $\mathcal{H}^3(\Omega)\subset\mathcal{C}^0(\Omega)$ pero $\mathcal{H}^2(\Omega)\not\subset\mathcal{C}^0(\Omega)$ .

Me interesaba intentar mostrar estas relaciones. ¿Alguien conoce alguna referencia que pueda ser útil.

Gracias de antemano.

Answer 1

Entiendo por tu post que primero te gustaría demostrar esos hechos por ti mismo, y no necesariamente abordar ahora toda la teoría (me gusta tu planteamiento). Sugerencia trivial: empieza con funciones suaves con soporte compacto en $\Omega$ e intentar atar sus $L^\infty$ norma en términos de $H^d$ norma. Además, te sugiero que intentes construir contraejemplos por ti mismo para el caso de las no inclusiones. Referencia: El libro de Brezis de Análisis Funcional puede darte buenas pistas.

Answer 2

Si sólo quiere la respuesta, no es de extrañar que pueda encontrarla en: https://en.wikipedia.org/wiki/Sobolev_inequality

Si desea una cuidadosa introducción y derivación del caso del espacio de Hilbert, consulte: "Seminar on the Atiyah-Singer Index Theorem" (Princeton Univ. Press)

Answer 3

Te daré una pista para la primera $d=1$ . Considere primero el caso de que su función $f \in H^1([0,1])$ era suave. Entonces podríamos decir $f(x) - f(y) = \int_{x}^y f'(s)ds$ . Aplique Cauchy-Schwarz ahora y podrá ver inmediatamente que $f$ es $1/2$ Hölder continuo.

Para dimensiones superiores, en realidad se procede de forma similar, pero es necesario utilizar la fórmula de la coárea.

Answer 4

Todas las respuestas anteriores aportan información muy valiosa y te guían en la dirección correcta. Sin embargo, me gustaría señalar que la última de las tres afirmaciones de la pregunta original es incorrecta. Considere que el dominio tiene un $C^{1}$ límite. La desigualdad de Sobolev generalizada establece que si $k > \frac{d}{2}$ y $u \in \mathcal{H}^{k}\left(\Omega\right)$ entonces

$u \in u\in C^{k-\left\lfloor \frac{d}{2}\right\rfloor -1,\varrho}\left(\Omega\right)$ ,

donde $\varrho>0$ . Esto significa, en particular, que si $k=2, d=3$

$u\in C^{0,\varrho}\left(\Omega\right)$ ,

lo que implica que $u \in C^{0}\left(\Omega\right)$ .

Así que $\mathcal{H}^{3}\left(\Omega\right)\subset C^{0}\left(\Omega\right)$ es cierto, pero también lo es $\mathcal{H}^{2}\left(\Omega\right)\subset C^{0}\left(\Omega\right)$ .

Answer 5

A estas alturas, ya no recuerdo con precisión dónde están los mejores sitios para aprender esto. He aquí algunas sugerencias bastante vagas:

1. No sé si este material está en alguno de los escritos de Nirenberg, pero si lo está, seguro que es un enfoque claro y fácil.

2. Busque en libros sobre EDP elípticas no lineales de, por ejemplo, Craig Evans, Gilbarg y Trudinger, o Thierry Aubin.

3. Idealmente, debería haber una prueba que implique integración sobre cubos. Los geómetras diferenciales como Aubin tienden a demostrar estos resultados integrando sobre bolas porque es lo que se generaliza más fácilmente a las variedades riemannianas. Funciona bien, pero las fórmulas son más complicadas que para un cubo. Al final, cuando te hagas una idea de lo que pasa, escribe tu propia demostración.