Haces lineales amplios, secciones, morfismos hacia el espacio proyectivo

Question

Se trata de una serie de cuestiones básicas sobre los amplios haces de líneas en una variedad $X$ y mapas al espacio proyectivo. He buscado preguntas relacionadas y no he encontrado respuestas, pero pido disculpas si me he perdido algo. Trabajaré con esquemas de tipo finito sobre un campo $k$ para simplificar.

Fondo

Una gavilla cuasi coherente $F$ en un $k$ -esquema $X$ es generado globalmente si el mapa natural $H^{0}(X,F)\otimes \mathcal{O}_{X} \rightarrow F$ es un suryecto de láminas. Básicamente, esto dice que para cualquier punto de $X$ hay al menos una sección de $F$ que no desaparece en ese punto, por lo que hay suficientes secciones de $F$ para ver todos los puntos de $X$ . (EDIT: Como se señala en los comentarios, esta última frase no describe una situación equivalente a ser generado globalmente. Quizá sea mejor decir que generado globalmente significa que para cada punto $x \in X$ , $F$ tiene algún rango $r$ en $x$ y generado globalmente significa que hay al menos $r$ secciones de $F$ que son linealmente independientes sobre $x$ .)

La noción de generado globalmente es especialmente útil cuando $F=L$ es un haz de líneas en $X$ . Si $V$ es un subespacio de dimensión finita de $H^{0}(X,L)$ tal que $V \otimes \mathcal{O} \rightarrow L$ es suryectiva, entonces obtenemos un morfismo $\varphi_{V}:X \rightarrow \mathbb{P}(V)$ por la propiedad universal del espacio proyectivo $\mathbb{P}(V)$ de hiperplanos en $V$ . Esencialmente, dado un punto $x \in X$ miramos la fibra sobre $x$ de la suryección $V \otimes \mathcal{O} \rightarrow L$ para obtener un cociente $V \rightarrow L_{x}$ . El núcleo es un hiperplano en $V$ y el morfismo $\varphi_{V}$ envía $x$ a ese hiperplano como un punto en $\mathbb{P}(V)$ .

Entonces, ¿cómo construir poleas generadas globalmente? Un haz de líneas $L$ se llama amplia si para cada gavilla coherente $F$ , $F \otimes L^{\otimes n}$ se genera globalmente para todos los grandes $n$ . El más pequeño $n$ a partir del cual esto se cumple puede depender de $F$ .

Por último, un haz de líneas se denomina muy amplio si $L$ se genera globalmente y $\varphi_{V}$ es una incrustación para algún subespacio de secciones $V$ .

Existen varias propiedades y criterios para los haces de líneas amplios, que pueden encontrarse en Hartshorne, por ejemplo. Lo que necesitamos para las preguntas de abajo son las siguientes: $L$ es amplia si y sólo si $L^{m}$ es suficiente para algunos $m$ sólo si $L^{n}$ es muy amplio para algunos $n$ ; si $L$ es amplia, eventualmente $L^{k}$ tendrá secciones, será generada globalmente, será muy amplia y no tendrá cohomología superior.

Preguntas

1. ¿Existen ejemplos sencillos (digamos en una curva o superficie) de haces de líneas generados globalmente pero no amplios, de haces de líneas amplios sin secciones, de haces de líneas amplios generados globalmente pero no muy amplios y de haces de líneas muy amplios con cohomología superior?

2. Dado un haz de líneas amplio $L$ ¿Cuál es el número mínimo $k$ para que pueda estar seguro $L^{k}$ tiene secciones, se genera globalmente, es muy amplio? Es $k$ relacionada con la dimensión de $X$ ?

3. Si $L$ es muy amplio, puedo usarlo para incrustar $X$ en algún espacio proyectivo. Entonces proyectando desde puntos fuera de $X \subset \mathbb{P}^{N}$ puedo obtener un morfismo finito $X \rightarrow \mathbb{P}^{d}$ donde $d$ es la dimensión de $X$ . Pero, ¿y si Sólo sé que $L$ se genera de forma amplia y global? ¿Puedo utilizarlo también para obtener un morfismo finito tal que $\mathbb{P}^{d}$ ?

Answer 1

1. ¿Existen ejemplos sencillos (digamos en una curva o superficie) de haces de rectas generados globalmente pero no amplios, de haces de rectas amplios sin secciones, de haces de rectas amplios generados globalmente pero no muy amplios y de haces de rectas muy amplios con cohomología superior?

En una curva de género $g$ un divisor general de grado $d \le g-1$ no tiene secciones. Por supuesto, si $d>0$ entonces es suficiente.

$K_X$ en una curva hiperelíptica se genera globalmente pero no es muy amplia.

Mira $L=\mathcal O(1)$ en una curva plana de género $d$ . Entonces de $$0\to \mathcal O_{\mathbb P^2}(1-d) \to \mathcal O_{\mathbb P^2}(1) \to \mathcal O_C(1)\to 0$$

ves que $H^1(\mathcal O_C(1))=H^2(\mathcal O_{\mathbb P^2}(1-d))$ que es dual con $H^0(\mathcal O_{\mathbb P^2}(d-4))$ . Así que es distinto de cero para $\ge4$ .

2. Dado un haz lineal amplio $L$ ¿Cuál es el número mínimo $k$ para que pueda estar seguro $L^k$ tiene secciones, se genera globalmente, es muy amplio? Es $k$ relacionada con la dimensión de $X$ ?

De nuevo, basta con mirar el divisor de un grado 1 en una curva de género $g$ . Necesita $k\ge g$ por lo que se ve que no hay límite en términos de dimensión.

Resulta que una pregunta más acertada es sobre la adjunto haces de líneas $\omega_X\otimes L^k$ ( $K_X+kL$ escrito aditivamente). Entonces la conjetura guía básica es de Fujita, y que dice que para $k\ge \dim X+1$ la gavilla se genera globalmente, y para $k\ge \dim X+2$ es muy amplio. Esto se demuestra por $\dim X=2$ con límites ligeramente peores para $\dim X=3$ . Para dimensiones superiores, el mejor resultado se debe a Angehrn-Siu, que dio un límite cuadrático para $k$ en lugar de lineal. Hay algunas pequeñas mejoras para algunos casos especiales.

3. Si $L$ es muy amplio, puedo usarlo para incrustar $X$ en algún espacio proyectivo. Entonces proyectando desde puntos fuera de $X\subset \mathbb P^N$ puedo obtener un morfismo finito $X\to \mathbb{P}^d$ donde $d$ es la dimensión de $X$ . Pero ¿y si sólo sé que $L$ ¿se genera de forma amplia y global? ¿Puedo utilizarlo también para obtener un morfismo finito tal que $\mathbb P^d$ ?

Pero por supuesto $L$ da un morfismo $f$ y se deduce que $f$ es finito: $f$ contactos sin curva por lo que $f$ es cuasifinita, y $f$ es proyectivo (ya que $X$ se suponía proyectiva). Y cuasifinito + propio = finito.

Answer 2

Las respuestas ya dadas parecen resolver sus dudas, pero me gustaría insistir en un punto que no se ha mencionado.

Supongamos que X es una variedad proyectiva, y $\pi: X' \rightarrow X$ cualquier morfismo que contraiga al menos una curva en X'. (Por ejemplo, podría ser la expansión de cualquier subvariedad de X de codimensión al menos 2.) Entonces, para cualquier haz de líneas muy amplio L sobre X, el pullback $\pi^*L$ está generada globalmente pero no es amplia, porque tiene grado cero en cualquier curva contraída por $\pi$ . (Así que para obtener un ejemplo sencillo para la primera parte de su primera pregunta, vamos a $\pi$ sea la expansión de P^2 en un punto, y L la clase de una recta).

Lo que quiero decir es que no se trata sólo de una clase de ejemplos, sino de hecho del caso general. Para ver esto, supongamos que X es una variedad proyectiva y L un haz de líneas generado globalmente pero no amplio. Entonces L define un morfismo $f_L: X \rightarrow Y \subseteq \mathbb P^n$ a alguna subvariedad del espacio proyectivo con $L = f_L^* H$ el pullback de la clase hiperplano (que es muy amplia en Y). Ahora bien, como L no es amplia, el morfismo $f_L$ debe contraer alguna curva en X: en otras palabras, la factorización de Stein de $f_L$ consiste en una contracción no trivial seguida de un morfismo finito. (Aquí a contracción significa un morfismo proyectivo con fibras conexas).

La moraleja es que para X cualquier variedad proyectiva, los haces de líneas generados globalmente pero no amplios sobre X son "lo mismo" que los morfismos de contracción no triviales $\pi: X \rightarrow Y$ . (La correspondencia puede hacerse más precisa considerando la estructura de caras del cono nef de X, pero eso no es realmente relevante para tu pregunta).

Por último, unas palabras sobre terminología: un haz de líneas L sobre X del que alguna potencia $L^k$ se genera globalmente se denomina (al menos por algunas personas) semi-muestra . Para algunos propósitos esto resulta ser una noción mejor que generada globalmente, al igual que amplia es una noción mejor que muy amplia.

Answer 3

Estoy teniendo un momento senior sobre los paquetes de líneas generados globalmente, así que dejaré de lado esta noción.

1. Si $X$ es una curva no hiperelíptica y $P,Q$ son puntos distintos en $X$ entonces ${\cal{O}}_X(2P-Q)$ es amplio pero no tiene secciones globales y tampoco es muy amplio. El divisor canónico en curvas de género al menos dos es muy amplio pero tiene $H^1$ .

2. Es una pregunta difícil en general, incluso el caso del divisor canónico (cuando es amplio) es difícil e importante en dimensión mayor que uno. Para una curva de género $g$ el mínimo $k$ depende de $L$ pero si $k\deg L > g$ , $L^k$ tiene secciones y si $k\deg L > 2g$ , $L^k$ es muy amplio. Todo esto se deduce de Riemann-Roch.

3. Creo que la respuesta es no, pero ahora mismo no se me ocurre ningún contraejemplo.

Answer 4

1) Que $C$ sea una curva (de géneros al menos 2) con a $2:1$ morhpismo en $\mathbb{P}^1$ . Entonces $K_C$ tiene grado positivo, por lo tanto es amplia. Pero se puede comprobar por Riemann-Hurwitz que $K_C$ no es más que el pullback de algún múltiplo (dependiendo del género) de la sección hiperplana en $\mathbb{P}^1$ . Además por Riemann-Roch se ve que todas las secciones de $K_C$ son tirados hacia atrás por $\mathbb{P}^1$ . Se deduce fácilmente que el mapa dado por las secciones de $K_C$ es sólo el mapa a $\mathbb{P}^1$ seguida de una incrustación veronesa; en particular, no es inyectiva. Así que $K_C$ es amplio pero no muy amplio. Además por dualidad de Serre se tiene $h^1(K_C) = h^0(\mathcal{O}) = 1$ .

Para un haz de líneas muy amplio con cohomología EDIT: eliminado el sinsentido

2) Existe un límite que depende únicamente de la dimensión de $X$ y los coeficientes del polinomio de Hilbert de $L$ Esto se conoce como el gran teorema de Matsusaka.

3) En general no, ya que $L$ no te dará un mapa finito. Pero puede ocurrir que $L$ da un mapa finito que no es un isomorfismo; en este caso se puede proyectar para obtener un mapa finito a un espacio proyectivo.

Por ejemplo, la doble cobertura de $\mathbb{P}^2$ ramificado sobre un sexitc, digamos que esto es $\pi \colon X \to \mathbb{P}^2$ entonces el haz de líneas $\pi^{*}(\mathcal{O}(1))$ da el mapa $\pi$ sí mismo, que es finito. Pero, ¿es cierto que $\pi^{*}(\mathcal{O}(1))$ es amplia, por ejemplo según el criterio de Kleiman. De forma más general, el pullback de un haz lineal amplio bajo un mapa finito sigue siendo amplio.