¿Es el logaritmo siempre inverso a la exponencial en las álgebras de Banach?

Question

Sea $A$ sea un álgebra de Banach unital real. Para $x\in A, r> 0$ denotemos por $B(x,r)\subset A$ la bola abierta de radio $r$ centrado en $x$ . Defina $$\log(1+\cdot):B(0,1)\to A,\quad\log(1+x):=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k}x^k.$$ ¿Es siempre cierto que $\log(1+\cdot)$ es un homeomorfismo sobre su imagen con inversa $\exp(x):=\sum_0^\infty\frac{x^k}{k!}$ ? Si no es así, ¿podemos decir que $\exists\varepsilon>0$ para que $\log(1+\cdot)\vert_{B(0,\varepsilon)}$ es un homeomorfismo sobre su imagen?

---

En caso de que $A=\mathbb R$ Por supuesto, esto es cierto y está demostrado. ici por ejemplo. Sin embargo, parece que no puedo generalizar esa demostración, ya que utiliza técnicas como la diferenciación de series de potencias término a término y el hecho de que $(x^k)'=kx^{k-1}$ que no se cumple en las álgebras de Banach no conmutativas.

Answer 1

Sea $A,\|.\|$ sea un álgebra unital completa normada donde $\|\frac{x}{n}\|=\frac{\|x\|}{n}$ . $$\exp(x)-1 \overset{def}= \lim_{N \to \infty}\sum_{n=1}^N \frac{x^n}{n!}, \qquad \log(1+x) \overset{def}= \lim_{K \to \infty}\sum_{k=1}^K \frac{(-1)^{k+1} x^k}{k} $$ Para cualquier $x \in A, \|x\| < 1$ y cualquier $y \in A$ $$\|\exp(y)-1\| \le \sum_{n=1}^\infty \frac{\|y\|^n}{n!} = \exp(\|y\|)-1 < \infty, \\ \|\log(1+x)\| \le \sum_{k=1}^\infty \frac{\|x\|^k}{k} = -\log(1-\|x\|) < \infty \\ \|\exp(\log(1+x))-1\| \le \sum_{n=1}^\infty \frac{\|\sum_{k=1}^\infty \frac{\|x\|^k}{k}\|^n}{n!}=\exp(-\log(1-\|x\|))-1 < \infty$$ Así, todo converge absolutamente y todo es continuo. Así podemos cambiar el orden de la suma para escribir $$(\log(1+x))^n = \sum_{k=1}^\infty a_{n,k} x^k, \qquad \exp(\log(1+x)) -1= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}\sum_{k=1}^\infty a_{n,k} x^k$$ Cambiar de nuevo el orden de la suma $$\exp(\log(1+x))-1 = \sum_{k=1}^\infty x^k \sum_n \frac{a_{n,k}}{n!}= x$$ donde $\sum_n \frac{a_{n,k}}{n!} = 0$ para $k > 1$ es una consecuencia de nuestros conocimientos en análisis real/complejo.