Existencia de $2^{1/2}$

Question

Estoy tratando de demostrar, que la raíz cuadrada de 2 existe en $\mathbb{R}$.

Estoy buscando en el conjunto de $A:=\{y\in\mathbb{R}: y\geq 0, y^2\geq 2\}$. Ya he comprobado que el mayor límite inferior $b$ $A$ existe. Sin embargo, ahora no sé cómo proceder. Sé que debería considerar los casos de $b^2 > 2$$b^2 < 2$, y llevarlos a una contradicción, por lo que sólo la posibilidad de $b^2=2$ es de la izquierda. Se me ha dado el consejo para usar las cantidades $a:=\frac{1}{2}(1 - \frac{2}{b^2}),\; a^\prime := \frac{1}{2}(1-\frac{b^2}{2}),\; b(1-a),\; \frac{b}{1-a^\prime}$. Creo que debería llegar a la contradicción de que $b$ no puede ser el mayor límite inferior en ambos casos, pero yo no ver cómo llegar allí.

Alguna idea?

Answer 1

Supongamos que el infimum es $b$ y no hay ningún número real $c$ tal que $c^2=2$. Entonces si $b^2> 2$, luego tenemos a $0<a<1$ y además: $$ b(1-a)< b\\ b^2(1-a)^2=b^2\left(\frac 12+\frac 1{b^2}\right)^2\geq b^2\left(\frac {\sqrt 2}{b}\right)^2=2 $$ donde la última desigualdad proviene de la simple AM-GM de la desigualdad. Pero esto es una contradicción, porque $b(1-a)< b$, lo que significa que nos encontramos a $b(1-a)$ menos que en el infimum $b$, pero aún mayor que o igual a 2.

Por otro lado, si $b^2<2$ también tenemos $0<a'<1$, por lo tanto $b/(1-a')> b$ y debido a $b$ es infimum, a continuación, $\frac{b^2}{(1-a')^2}> 2$ (si $\frac{b^2}{(1-a')^2}=2$ entonces nos encontramos con $c$ tal que $c^2=2$). Pero: $$ \frac{b^2}{(1-a')^2}=\frac{b^2}{\left(\frac 12+\frac {b^2}4\right)^2} \leq \frac{b^2}{\left(\frac { 2}{\sqrt 8}\right)^2}=2 $$ que es de nuevo un ello.

Por lo tanto,$b^2=2$.