Valores propios del producto de dos matrices complejas

Question

Sea $A$ ser un $n\times n$ matriz compleja. Supongamos que $A$ es autoadjunto y $B$ denotan la inversa de $A+iI$ donde $I$ es la matriz identidad de orden $n\times n$ . Entonces todos los valores propios de $(A-iI)B$ son

1. puramente imaginario

2. real

3. de módulo uno

4. de módulo inferior a uno

Mi intento: Descarté opciones $1,4$ tomando $A=O$ $($ matriz nula $)$ . Deja ' $a$ sea un valor propio de $A$ entonces los valores propios de $(A-iI)B$ son $(a-i)(a+i)^{-1}$ . Pero no estoy seguro de ello. Por favor, ayúdeme.

Answer 1

Con $A$ autoadjunto y

$Av = \lambda v, \tag 1$

tenemos

$\lambda \in \Bbb R \tag 2$

y

$(A + iI)v = (\lambda + i)v; \tag 3$

ya que cada valor propio de $A$ es real, ningún valor propio de $A + iI$ desaparece, por lo que es invertible; utilizamos este hecho para escribir (3) como

$(A + iI)^{-1}v = \dfrac{1}{\lambda + i} v = \dfrac{\lambda - i}{\lambda^2 + 1}v; \tag 4$

entonces

$(A - iI)(A + iI)^{-1}v = (A - iI) \dfrac{\lambda - i}{\lambda^2 + 1}v = \dfrac{\lambda - i}{\lambda^2 + 1}(A - iI)v$ $= \dfrac{\lambda - i}{\lambda^2 + 1}(\lambda - i)v = \dfrac{(\lambda - i)^2}{\lambda^2 + 1}v; \tag 5$

tenemos

$\left \vert \dfrac{(\lambda - i)^2}{\lambda^2 + 1} \right \vert = \dfrac{1}{\lambda^2 + 1} \vert(\lambda - i)^2 \vert$ $= \dfrac{1}{\lambda^2 + 1} \vert(\lambda - i) \vert^2 = \dfrac{1}{\lambda^2 + 1} (\sqrt{\lambda^2 + 1})^2 = \dfrac{\lambda^2 + 1}{\lambda^2 + 1} = 1; \tag 6$

así opción (3) es correcto.

La transformación

$A \to (A - iI)(A + iI)^{-1} \tag 7$

es útil, ya que en los mapas autoadjuntos $A$ a la unidad $(A - iI)(A + iI)^{-1}$ lo que permite comprender mejor a estos operadores. Esto es especialmente cierto porque puede extenderse a operadores no limitados. $A$ en un espacio de Hilbert, y permite $A$ en términos de un operador acotado (unitario).

Answer 2

Desde $A$ es autoadjunta, la matriz $B=(A-iI)(A+iI)^{-1}$ es unitario. Ahora dejemos que $ \mu \in \mathbb C$ , $x \ne 0$ y $Bx= \mu x$ . Entonces

$||x||^2=(x,x)=(B^*Bx,x)=(Bx,Bx)=(\mu x,\mu x)=|\mu|^2 ||x||^2.$

Esto da $|\mu|=1.$

( $ (\cdot, \cdot)$ denota el producto interior habitual en $\mathbb C^n$ .)