Con respecto a derivados

Question

¿El derivado (el valor de la pendiente) solo nos da el cambio de tasa instantáneo en un punto y nada más? ¿Es esta la única significancia de ese valor?

Por ejemplo, tomé la función $f(x)=x^2$, consideremos en $x=3$. $f(x)=x^2=9$ y $f'(x)=2x=6$. ¿El valor $6$ solo nos dice la tasa de cambio en el punto $x=3$?

Consideremos el cambio de tasa promedio, por ejemplo, supongamos que el cambio de tasa promedio en y con respecto a x sobre algún intervalo es $7$; es decir, por cada unidad por la cual x cambia, "y" en promedio cambia por $7$ unidades. Aquí el valor promedio "$7$" está relacionado con el valor de y de la función, lo que significa que y en promedio cambia por $7$ unidades.

Algunos de mis amigos dijeron que el valor $f'(x)=6$ en el ejemplo anterior solo da la tasa de cambio en ese punto, es decir, es solo la pendiente de la tangente en ese punto y nada más, no tiene efecto en el valor de 'y' ($x^2=9$) de la función. Pero si no tiene nada que ver con el valor de 'y', entonces ¿por qué se llama la pendiente en el punto "la tasa de cambio instantánea de y con respecto a x"? ¿Alguien puede explicarme esto, realmente necesito ayuda.

Answer 1

Consideremos una ligera variación en tu ejemplo. ¿Qué tal si $f(x) = x^2 + 1$? Entonces en $x=3$ tenemos que $f(x) = 10$ y $f'(x) = 2x = 6$. También podríamos probar con $f(x) = x^2 - 2$, y entonces en $x=3$ tenemos que $f(x)= 7$ pero $f'(x) = 6$. Estas funciones son simplemente desplazamientos verticales de tu función original, por lo que cambiar el valor de $y$ no cambió la derivada. Por definición:

$$f'(x) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

y nota que para una función dada esta ecuación solo depende de $x=a$, por lo que el valor de $y$ de una función es irrelevante.

La razón por la que decimos "la tasa de cambio instantánea de $y$ con respecto a $x$" es porque en estos escenarios $y$ es una función de $x$. En este punto de tu carrera matemática supongo que solo has tomado las derivadas de funciones, por lo que la formulación para la derivada de $y$ con respecto a $x$ también podría expresarse como la derivada de la función $y=f(x)$, con respecto a la variable $x$ (porque la función depende de $x$).

Eventualmente aprenderás sobre la diferenciación implícita que te permitirá encontrar la derivada de relaciones que no son funciones. Por ejemplo, considera la ecuación del círculo $x^2 +y^2 = 5$. En el punto $x=1$ hay dos $y$-valores asociados: $y=-2$ y $y=2$ (por lo tanto no es una función) y cada uno tiene una tasa de cambio instantánea diferente. Así que en este ejemplo, cuando no tienes una función, el valor de $y$ importará.

Answer 2

¿El derivado (el valor de la pendiente) solo nos da el cambio de tasa instantáneo en un punto y nada más? ¿Es esta la única importancia de ese valor?

Las expresiones "solo" y "nada más" en afirmaciones matemáticas generalmente requieren un esfuerzo considerado para encontrar la prueba, que a menudo no es trivial.

Intentaré demostrar lo contrario: las derivadas pueden ser utilizadas de una manera inesperada para resolver problemas. Por ejemplo, para demostrar la desigualdad de Young $$\forall\,a,b > 0, p \ge 1, q:= \frac{p}{p-1}, ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q},$$ uno podría considerar la función $f(x) = \dfrac1p x^p − x +\dfrac1q$ y sus derivadas.

Además de proporcionar "cambio de tasa instantáneo" en los puntos, en realidad brinda una manera de identificar extremos, lo que ayuda a resolver muchos problemas de optimización.

Las derivadas ayudan a explorar raíces repetidas de un polinomio definido en (estructuras definidas sobre) un campo con característica cero. Si se amplía el significado de "derivadas" en el contexto de tu pregunta, puede que descubras que las "derivadas algebraicas" (definidas explícitamente para $x^n$ con respecto a $x$) tienen esa funcionalidad también en (estructuras definidas sobre) un campo con característica no nula, donde uno tal vez no hable sobre el orden '$<$' en el que se basa la definición de límites.

Si me permites alejarme aún más del tema, la aplicación de $q$-derivadas en cálculo cuántico en la demostración de la suma de Ramanujan de $_1\Psi_1$ podría sorprenderte.

Referencias:

1. Kac V., Cheung P. (2002) Fórmula del Producto de Ramanujan. En: Cálculo Cuántico. Universitext. Springer, New York, NY. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0071-7_15
2. Andrews, G. E., & Askey, R. (1976). Una prueba sencilla de la suma de Ramanujan de la $_1\Psi_1$. University of Wisconsin–Madison Mathematical Research Center Technical Summary Report #1669

Answer 3

Tomemos una función x^2 en x=3, f(x)=9 y aquí la derivada 2x=6. El valor 6 se llama