¿Puede una ecuación integral reescribirse siempre como una ecuación diferencial?

Question

Dado un ecuación integral ¿existe siempre una ecuación diferencial que tenga las mismas soluciones (digamos suaves)? Parece que no, pero ¿se puede demostrar con algún ejemplo?

Edita: Ingenuamente espero algún algoritmo que tome una ecuación integral y aplique algunas operaciones como tomar derivadas, sustituir variables por algunas nuevas, añadir ecuaciones diferenciales adicionales etc... de tal manera que después de este procedimiento hayas hecho desaparecer todos los signos de la integral y obtenido una ecuación diferencial que tiene las mismas soluciones que la ecuación integral. (tal vez de manera similar a cómo se puede transformar cualquier sistema de EDP en un sistema de ecuaciones de primer orden)

Answer 1

En general, no. Una ecuación integral puede ser no local, mientras que una ecuación diferencial es local (en el sentido de que puede describirse mediante una función sobre el haz de chorros). A modo de ejemplo

Sea $K(x) = \delta_0(x) + \delta_1(x)$ sea un núcleo integral, donde $\delta_i$ son las deltas de Dirac apoyadas en $i$ . Consideremos la ecuación integral, para una cierta suavidad fija $f$ $$ f(x) = \int K(x-y) \phi(y) dy $$ para lo desconocido $\phi$ . La ecuación se reduce a $\phi(x) + \phi(x+1) = f(x)$ . Cualquier función continua $g(x)$ en $[0,1]$ satisfaciendo $g(0) + g(1) = f(0)$ genera una solución continua de la ecuación. Te reto a que encuentres una ecuación diferencial cuyo conjunto de soluciones pueda generarse así.

Answer 2

Aunque secundo el comentario de Deane de que el autor debería ser un poco más específico sobre el tipo de ecuaciones que le interesan, en general la respuesta es no integral y, más ampliamente, integro-diferencial ecuaciones. Sin embargo, estas últimas pueden reducirse a funcional-diferencial que a las puramente diferenciales. Para más detalles, véase la sección 6.6 del libro Simetrías y leyes de conservación para ecuaciones diferenciales de física matemática (por desgracia, las páginas relevantes parecen estar excluidas de la vista previa de Google).

Por ejemplo, dudo mucho que se pueda reducir la Ecuación de coagulación de Smoluchowski del ejemplo 6.5 del libro anterior a una ecuación diferencial (por oposición a la funcional-diferencial) o a un sistema de la misma.

Answer 3

Con los comentarios de Charles Matthews en perspectiva, estas son algunas notas que hice hace algún tiempo sobre este tema. No tengo los libros delante de mí, así que no puedo buscar los detalles en este momento.

1) En el libro de Zabreyko Ecuaciones integrales (902860393X), está el método basado en las funciones de Green en el Apéndice A.

2) Bellman en Perturbation techniques Sec 10 señala que la otra forma (ODE a ecuación integral) es en realidad mejor

Conversión de ecuación diferencial a int es uno de los potentes dispositivos de teoría de aproximación. Su potencia es se debe a que la integración es una operación de suavizado, mientras que la diferenciación acentúa las pequeñas variaciones. Si u(t) y v(t) están próximos, entonces ∫u(s)ds y ∫v(s)ds serán comparables valor, pero du/dt y dv/dt pueden estar estar arbitrariamente alejados. En consecuencia cuando carr aproximaciones sucesivas, preferimos a los operadores diferenciales. Por otra parte, en la solución numéricas, preferimos los operadores a los operadores integrales.

3) También puede buscar Manual de ecuaciones integrales de Polyanin. Los apartados 8.4.5, 9.7 y 9.3.3 son tres situaciones en las que el método reduce una ecuación integral específica a una EDO.

Answer 4

La respuesta, si la hay, debe ser sutil. Tomemos el siguiente ejemplo. Sea $H$ sea la transformada de Hilbert. Entonces $$\frac{d}{dx}Hu=f$$ es una ecuación integral, donde el núcleo es la transformada de Fourier de $\xi\mapsto|\xi|$ . No puede reescribirse como un conjunto de ecuaciones diferenciales (EDO) dentro de $\mathbb R$ . No obstante, puede refundirse en términos de EDP, utilizando una extensión armónica en el semiplano superior: $$-\Delta_{x,y}\phi=0\hbox{ in }\{y>0\},\qquad \frac{\partial\phi}{\partial y}(x,0)=f(x),\quad u(x)=\phi(x,0).$$

Answer 5

No, cuando se trata de ecuaciones diferenciales estocásticas éstas son sólo un atajo - sólo hay un sentido para la representación integral, los caminos son no diferenciables.

Véase, por ejemplo, aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Ito_calculus