Cálculo de probabilidades con conocimientos adicionales sobre la cubierta

Question

Digamos que separo 10 cartas de una baraja estándar de 52 cartas. Si saco una carta de estas 10 cartas, la probabilidad de sacar una carta menor que 5 es 16/52 . Un amigo mira las 42 cartas restantes y nombra algunas de ellas. El amigo también mira las 10 cartas separadas y nombra algunas de ellas. No me dice la posición de las cartas. ¿Cómo afecta este conocimiento adicional a la probabilidad?

Por ejemplo, el amigo me dice que hay un 2 tanto en las 42 cartas restantes como en las 10 cartas separadas.

Para la primera situación (conocimiento de las cartas de las 42 restantes), he llegado a esta fórmula: $$\frac{baseline - known_{target}}{total - known_{total}}$$ Dónde $known_{target}$ es el número de cartas menores de 5 que conocemos. Y $known_{total}$ es el número de cartas que conocemos, independientemente de su valor. Así, para el ejemplo anterior, nos daría: $$\frac{16 - 1}{52 - 1} = \frac{15}{51}$$

Creo que esto da la probabilidad correcta, si sabemos que una carta no está en el conjunto. No sé, sin embargo, cómo afecta al cálculo de la probabilidad la segunda situación (conocimiento de las cartas que están en el 10 separado).

Answer 1

Si su amigo mira el $10$ tarjetas e informa de si hay o no al menos una $2$ (donde el valor $2$ se conoce antes de que mire) tienes una muestra aleatoria de todas las manos de 10 cartas con/sin $2$ 's. Si no hay $2$ 's, puedes imaginar que empiezas con la baraja, tiras los cuatro $2$ y roba una carta. La posibilidad de que esté bajo $5$ es ahora $\frac {12}{48}.$ Para tener la oportunidad de una tarjeta de abajo $5$ cuando se nos dice que hay al menos un $2$ podemos hacer lo siguiente:
Probabilidad de una carta por debajo de a $5$ sin información sobre el $2$ 's es $\frac {16}{52}=\frac 4{13}$
Chance the $10$ las tarjetas no contienen un $2$ es $\frac {{48 \choose 10}}{{52 \choose 10}}=\frac {246}{595}$
Chance the $10$ las tarjetas no contienen un $2$ y obtenemos menos de $5: \frac{12}{48}=\frac 14$
Chance the $10$ tarjetas contienen al menos una $2$ y obtenemos menos de $5: \frac 4{13}-\frac{246}{595\cdot 4}=\frac {3161}{15470}\approx .20433$
Chance the $10$ Las tarjetas contienen un $2$ es $1-\frac {246}{595}=\frac {349}{595}$
Probabilidad de que obtengamos menos de $5$ dado que existe al menos un $2: \frac{\frac {3161}{15470}}{\frac {349}{595}}=\frac{3161}{9074}\approx0.348$