Estados propios en los que puede proyectarse un sistema tras una medición

Question

Actualmente estoy leyendo Dirac's Principios de mecánica cuántica En la página 36, dice:

Otra suposición que hacemos relacionada con la interpretación física de la teoría es que, si una determinada variable dinámica real $\xi$ se mide con el sistema en un estado determinado, los estados a los que puede saltar el sistema a causa de la medición son tales que el sistema original depende de ellos.

¿Sobre qué base física podemos hacer esta suposición y por qué es razonable?

Answer 1

Este fenómeno se denomina colapso de la función de onda. Es uno de los principios de la Interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica.

Los estados propios $|\xi_i\rangle$ de la $\Xi$ forman un conjunto completo. A partir del álgebra lineal tenemos $$I=\sum_i|\xi_i\rangle\langle \xi_i|$$ donde $I$ es el operador de identidad. Lo aplicamos al vector de estado $|\psi\rangle$ : $$|\psi\rangle=\sum_i|\xi_i\rangle\langle \xi_i|\psi\rangle$$ Ahora hemos expresado el estado en términos de la $\Xi$ eigenestados. Cuando medimos $\Xi$ y obtener $\xi_j$ Nosotros proyecto el vector de estado en el estado propio mediante el operador de proyección $\mathbb{P}_j=|\xi_j\rangle\langle\xi_j|$ . Así que después de la medición obtenemos $$\psi\longrightarrow N\mathbb{P}_j|\psi\rangle=N\langle\xi_j|\psi\rangle|\xi_j\rangle$$ donde $N$ es la nueva constante de normalización.

Answer 2

Cuando se mide un observable sobre un determinado estado, cualquier resultado posible se encuentra dentro del espectro físico del propio observable (que puede demostrarse que coincide con la noción algebraica de espectro para operadores lineales). Así que después de que la medición te haya dado un valor, digamos, $\lambda$ cualquier otra medida en el sistema le dará $\lambda$ de nuevo con una probabilidad del 100%. Esto no es más que la interpretación probabilística de la Mecánica Cuántica, según la cual el valor de expectativa de un observable en un estado dado se define como la media sobre un conjunto suficientemente grande de copias exactas del sistema en el estado dado. Los resultados deben estar en el espectro del observable, pero la forma en que se define el estado da una media de todos los resultados posibles. Evidentemente, una vez reunidas todas las copias del sistema en el conjunto que han dado el valor $\lambda$ ahora sabe que si vuelve a medir el mismo observable en este subconjunto, encontrará que $\lambda$ en todos ellos.

Un ejemplo típico es el de la polarización. Una vez polarizada la luz, la intensidad a través de un polarizador con el mismo eje será del 100%.