Problema sobre funciones y secuencias

Question

Hay tantas cosas en juego en esta pregunta que me siento un poco perdido. ¿Cómo debo conectar toda la información en algo que me ayude? He intentado abrir la definición de límite de f(x), usando continuidad, usando diferenciabilidad a no vail.. Estoy teniendo un tiempo difícil comprender la combinación de funciones y secuencias en un problema..

Answer 1

Resumamos los puntos más importantes:

1. $f:[a,b]\to[a,b]$ es diferenciable y $f(\alpha)=\alpha$
2. $(x_n)$ es una secuencia en $[a,b]$ con $f(x_{n})=x_{n+1}$ para todos $n\in\mathbb N$ .
3. Supongamos que la derivada de $f$ tiene un límite menor que uno: $|f'(x)|\leq q<1$ .
4. Demuestra que $x_n$ converge a $\alpha$ .

de la pista, tenemos que comparar $|x_{n+1}-\alpha|$ y $|x_n-\alpha|$ . A partir de los puntos (1) y (2), tenemos $|x_{n+1}-\alpha|=|f(x_n)-f(\alpha)|$ . Por el Teorema del Valor Medio (que supongo que es el teorema de Lagrange), tenemos si $$\left|\frac{f(x_n)-f(\alpha)}{x_n-\alpha}\right|>q,$$ entonces debe haber un punto $y$ entre $\alpha$ y $x_n$ tal que $|f'(y)|>q$ pero esto contradice el punto (3). Por lo tanto, $$|x_{n+1}-\alpha|=|f(x_n)-f(\alpha)|<q|x_n-\alpha|.$$ Podemos aplicar este hecho inductivamente para ver que $|x_n-\alpha|<q^n|x_1-\alpha|.$ Así, puesto que $q<1$ , $|x_n-\alpha|\to 0$ como $n\to\infty$ Así que $x_n$ converge a $\alpha$ .