CH y la topología de densidad en $\mathbb{R}$

Question

En el artículo UN EJEMPLO DE ESPACIOS BAIRE ( https://www.ams.org/journals/proc/1975-048-01/S0002-9939-1975-0362249-1/S0002-9939-1975-0362249-1.pdf ) de H. E. White Jr. se demuestra que, suponiendo CH, existe un espacio Baire $Y$ tal que $Y\times Y$ no es Baire.

Para la construcción de este espacio, se utiliza la topología de densidad sobre $\mathbb{R}$ (para más detalles sobre esta topología puede consultar https://projecteuclid.org/journals/pacific-journal-of-mathematics/volume-62/issue-1/The-density-topology/pjm/1102867878.full ).

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Denote por $\mathcal{T}$ la topología de densidad en $\mathbb{R}$ y por $\mathcal{E}$ la topología euclidiana en $\mathbb{R}$ .

La construcción del espacio $Y$ comienza con una enumeración $(F_{\alpha})_{\alpha<\omega_{1}}$ de todos $\mathcal{E}$ -Conjuntos de Borel de medida cero (medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}$ ). Entonces, por recursión transfinita en $\omega_{1}$ es construir una secuencia $(Y_{\alpha})_{\alpha<\omega_{1}}$ de subespacios vectoriales racionales contables de $\mathbb{R}$ y finalmente nuestro espacio es $Y=\bigcup_{\alpha<\omega_{1}}Y_{\alpha}$ .

Mi pregunta es la siguiente :

En el artículo se menciona que $Y$ no está extremadamente desconectado, ¿alguien tiene alguna idea de cómo demostrar este hecho?

Recordemos que un espacio topológico $X$ es extremadamente desconectado si el cierre de cada subconjunto abierto de $X$ está abierto.

Muchas gracias.

Answer 1

Según su primera referencia su espacio es denso con respecto a la topología de densidad; esto implica que, en $Y$ el cierre de $Y\cap(0,\infty)$ es $Y\cap[0,\infty)$ este último conjunto no es abierto en $Y$ porque su densidad superior en $0$ es menor o igual que $\frac12$ .

Para completar el argumento insinuado en la última frase: porque $Y$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ es cerrado bajo desplazamiento y escalado por números racionales. De aquí se deduce que existe una constante $c$ tal que $m^*(Y\cap(a,b))=c\cdot(b-a)$ para cada intervalo $(a,b)$ y $c>0$ porque $Y$ tiene medida exterior positiva. Sea ahora $A$ sea abierta en la topología de densidad tal que $A\cap Y\subseteq[0,\infty)$ . Entonces $A\cap(-\infty,0)$ es disjunta de $Y$ y así $m(A\cap(a,b))\le(1-c)(b-a)$ siempre que $a<b\le0$ pero esto implica $m(A\cap(-\infty,0))=0$ . Por lo tanto, la densidad de $A$ en $0$ es como máximo $\frac12$ y así $0\notin A$ .