Resolución de la ODES no lineal acoplada más sencilla para cinética química

Question

Sólo estoy tratando de obtener la forma integrada para la cinética de la reacción $A + B \rightarrow C + D$ caracterizado por:

$$ -\dfrac{d[A]}{dt} = -\dfrac{d[B]}{dt} = k[A][B] \; . $$

Como observas, se trata de un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales acopladas, lo pondré en la notación familiar para matemáticos o físicos:

$$ \dfrac{dx(t)}{dt} = -k x(t) y(t) $$ $$ \dfrac{dy(t)}{dt} = -k x(t) y(t) $$ ¿Alguien puede ayudarme con alguna referencia o idea para solucionarlo?

Answer 1

Dado que la tasa de variación de $ x $ es igual a la tasa de variación de $y $ que realmente sólo una única ecuación de con una variable. Escribimos, \begin{equation} x = y + c \end{equation} donde la constante $ c $ viene determinada por sus condiciones iniciales, \begin{equation} c = x (0) - y (0) \end{equation} (en tu caso es la diferencia entre las concentraciones al inicio). Insertando en esta relación tenemos, \begin{equation} x' = -k ( x ^2 - x c ) \end{equation} Ahora es una ecuación sencilla de resolver, \begin{equation} \int _{x _0 } ^{ x} \frac{ d x }{ - k ( x ^2 - x c ) } = \int _0 ^t d t \end{equation} donde $ x _0 \equiv x ( 0 ) $ . Recurriendo a Mathematica (aunque podrías usar fracciones parciales) da, \begin{equation} \log \left[ \frac{ x }{ x _0 } \frac{ x _0 - c }{ x - c } \right] = kt \end{equation} Aislamiento para $ x $ Lo entiendo, \begin{equation} x = - \frac{ c e ^{ kt} }{ \alpha - e ^{ kt} } \end{equation} donde $ \alpha \equiv ( x _0 - c ) / x _0 $ .

Trazado $x$ [rojo] y $y$ [azul] para diferentes $x0$ y ajuste $c=1$ que tenemos,

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Answer 2

Pistas:

1. Concluir que $y-x=c$ es una constante.

2. Utilizar la separación de variables $-k\int \!\mathrm{d}t= \int \!\frac{\mathrm{d}x}{x(x+c)}$ .