La 3ª forma invariante en un grupo de Lie compacto

Question

Sea $G$ sea un grupo de Lie compacto. Tenemos las conocidas invariantes izquierda y derecha de Maurer-Cartan $1$ -forma $\theta$ y $\bar\theta$ en $\Omega^1(G, \mathfrak{g})$ que probablemente se discute en todas las clases de teoría de Lie.

Sin embargo, la canónica bi-invariante cerrada $3$ -forma $\chi = \frac{1}{12} (\theta, [\theta, \theta]) = \frac{1}{12} (\bar\theta, [\bar\theta, \bar\theta])$ en $\Omega^3(G)$ puede ser un poco menos conocido. Y cuando oí hablar de ella me surgieron algunas preguntas...

1) ¿Existen invariantes canónicos $5$ -y formas invariantes superiores en a $G$ ?

2) ¿Cómo se relacionan con la cohomología del álgebra de Lie y la cohomología equivariante?

3) La construcción se parece un poco a $tr(A \wedge dA)$ si consideramos $\theta$ como conexión $A$ en el haz de marcos de $G$ y utilizar la ecuación de Maurer-Cartan $d\theta = -\frac{1}{2}[\theta, \theta]$ .

Ahora hay otro famoso $3$ -forma: la forma de Chern-Simons $tr(A \wedge dA + \frac{2}{3} A \wedge A \wedge A)$ y me pregunto si estos dos están relacionados de alguna manera. ¿El $tr(A \wedge A \wedge A)$ parte desaparecen aquí, debido a la identidad de Jacobi?

(y, nótese que existen las 5-formas de Chern-Simons, etc.)

Muchas gracias.

Answer 1

La relación entre el término tridimensional de Chern-Simon y la 3ª forma invariante es un caso especial de la forma de Chern-Simon. caso especial de la Bicomplejo BRST que actúa sobre las formas equivariantes valoradas en el álgebra de Lie de un haz principal. Localmente, estas formas dependen polinómicamente de la conexión gauge del haz principal y de la forma Maurer-Cartan del grupo de Lie de las transformaciones gauge.

Se parte del término de Chern-Simons (en cualquier dimensión), y a través de una serie de ecuaciones de descenso (en las que intervienen el operador BRS y la derivada exterior) se llega a una forma invariante de grado impar de la variedad del grupo. En cada etapa, las ecuaciones de descenso (a veces llamadas ecuaciones de descenso de Stora-Zumino) aumentan el grado polinómico del Maurer-Cartan en 1 y disminuyen el grado de la conexión gauge en uno.

He aquí una referencia con la construcción explícita a partir del término de Chern-Simons de cinco dimensiones.

Los términos intermedios en el descenso son en realidad cociclos de una extensión abeliana del álgebra de Lie del grupo gauge conocida como extensión de Fadeev-Mickelsson.

Consulte también los siguientes libros de teoría cuántica de campos (primero) , (segundo) tratando este tema.

Answer 2

La 3-forma en cuestión es la extensión a la cohomología de de Rham del grupo de los canónicos semisimples Álgebra de Lie 3-ciclo $\langle - [-,-] \rangle$ .

Un cociclo de álgebra de Lie es lo mismo que un elemento cerrado en el Álgebra de Chevalley-Eilenberg . Si cualquier álgebra de Lie cocycle es en transgresión con un polinomio invariante en el álgebra de Lie, entonces esto queda atestiguado por la existencia de una correspondiente Elemento de Chern-Simons en el Álgebra de Weil . Se recuerda la construcción detallada aquí .

De esta sencilla construcción cohomológica resultan la mayoría de los fenómenos de la teoría superior de Chern-Simons que relacionan estas entidades algebraicas. Alguna vez he escrito notas sobre esto con Jim Stasheff y Hisham Sati (de sección 6.3 en él se discute lo que acabo de mencionar).

Answer 3

Las respuestas a sus preguntas forman parte de una historia un tanto larga y hermosa que se explica, por ejemplo, en la obra de Greub, Halperin y Vanstone Conexiones, curvatura y cohomología. Vol. 2: Lie Groups, Principal Bundles, and Characteristic Classes . No hay vista previa disponible en Google Books, pero al menos puede leer una reseña aquí .