No entiendo algunos pasos de la demostración del siguiente teorema
Teorema (regularización de Moreau-Yosida). Sea $X$ sea un espacio métrico, $f:X\longrightarrow\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ sea una función boun desde abajo (es decir, existe $m\in\mathbb{R}$ s.t. $f(x)\geq m$ , $\forall x\in X$ ). Entonces $f$ es semicontinuo inferior (c.s.i.) si existe existe una secuencia $\{f_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ de f acotadas y continuas funciones $f_k$ de $X$ a $\mathbb{R}$ tal que
- $f_k$ es continua de Lipschitz con constante $k$ para todos $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$
- $\{f_k(x)\}_{k\in\mathbb{N}}$ es monotónicamente creciente $\forall x\in X$
- $\lim_{k\rightarrow\infty}f_k(x)=f(x)$
Prueba. La suficiencia de la condición es trivial ya que $f$ es la suma puntual de funciones continuas (por tanto, l.s.c.) $f_k$ .
A la inversa, dado $f$ l.s.c. y acotada por abajo, definamos $$ h_k(x)=\inf\{f(z)+k\operatorname{dist}(x, z)\}. $$ Dado que las funciones $x\longmapsto f(z)+k\operatorname{dist}(x, z)$ son continuas de Lipschitz con constante $k$ para todos $x\in X$ entonces $h_k$ es continua de Lipschitz con constante $k$ . Además, la secuencia $\{h_k(x)\}_{k\in\mathbb{N}}$ es monotónicamente creciente para cada $x\in X$ y tenemos $\inf f\leq h_k(x)\leq f(x)$ (elegir $z=x$ ). Ahora, supongamos por contradicción que $l(x):=\lim_{k\rightarrow\infty}h_k(x)<f(x)$ . Entonces $l(x)<+\infty$ . Para cada $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ por definición de $h_k$ podemos elegir $z_k\in X$ tal que $$ h_k(z_k)+\frac{1}{k}\geq f(z_k)+k\operatorname{dist}(x, z_k), $$ de la que $$ \operatorname{dist}(x, z_k)\leq\frac{h_k(z_k)+\frac{1}{k}-f(x_k)}{k}\leq\frac{l(x)+1-m}{k} $$ (aquí no entiendo por qué $h_k(z_k)+\frac{1}{k}\leq l(x)+1$ ).
Ahora, dejando $k\rightarrow\infty$ obtenemos que $z_k\rightarrow x$ y $$ l=\lim_{k\rightarrow\infty}h_k(x)\geq\liminf_{k\rightarrow\infty}f(z_k)\geq l(x) $$ donde la última desigualdad se deduce de la semicontinuidad inferior de $f$ . Así que obtenemos una contradicción. Por último, estableciendo $f_k(x)=\min\{h_k(x), k\}$ obtenemos la propiedad de acotación. $\square$
Mi pregunta. No entiendo cómo obtenemos la propiedad de acotación. Si $\min\{h_k(x), k\}=h_k(x)$ obtenemos propiedades $1.$ , $2.$ y $3.$ y la continuidad del $f_k$ (por punto $1.$ ) pero $h_k$ en mi opinión, puede ser ilimitada. Por otra parte, si $\min\{h_k(x), k\}=k$ ¿Cómo puedo conseguir el punto $3.$ y el hecho de que $f_k$ está limitado?
Gracias
