Determinar el eje de un tornillo $3D$ movimiento rígido dado por $F(x)=Ax+c$

Question

Determinar el eje de un tornillo $3D$ movimiento rígido dado por $F(x)=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}x+\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix}$

El polinomio característico es $P(x)=-(\lambda-1)(\lambda+1)^2$

Así que encontré que los valores propios eran $\lambda_1=1, \lambda_2=-1$ que tenía multiplicidad $2$ para la matriz

Entonces los vectores propios son $v_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\\end{pmatrix}$

Y $v_2=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\\end{pmatrix}$ y $v_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix}$

No estoy muy seguro de qué hacer a partir de aquí, pensé que el eje debe corresponder a uno de estos $3$ líneas dadas por los vectores propios, y que $\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix}$ debe situarse en una de las líneas. Pero eso no ocurre.

Answer 1

El determinante es $1$ por lo que la matriz es una rotación pura, sin reflexión.

Los vectores propios determinan el sistema de referencia en el que la acción de la matriz es un estiramiento a lo largo de los ejes: en esa referencia la matriz se vuelve diagonal.

El producto de los valores propios será $1$ también. En este caso son $1, -1, -1$ .

Es evidente que un vector a lo largo del eje de rotación permanecerá invariable, es decir $(1,1,0)$ que se encuentra en $\pi /4$ en el $x,y$ avión.

La rotación invierte el sentido de la $z$ eje: por lo que es una rotación de $\pi$ .
Esto barrerá la posición del $x$ y $y$ ejes, que de hecho es lo que hace la matriz.

--- nota en respuesta a tu comentario ---

A matriz de rotación rígida debe tener al menos un valor propio $=1$ .
Si tiene dos en $1$ entonces debe tener los tres ad es una matriz de rotación cero, de lo contrario el determinante no es uno, y no es una rotación "pura" ("cuerpo rígido"), sino que contiene algún estiramiento y/o reflexión.