Si $M$ es un conjunto ortonormal (la normalización no es necesaria, por cierto, basta con que los elementos sean mutuamente ortogonales), el conjunto
$$N(x) = \{ v\in M : \langle x,v\rangle \neq 0\}$$
es como máximo contable.
Para un subconjunto finito $F\subset M$ definimos
$$x_F := \sum_{v\in F} \langle x,v\rangle\cdot v.$$
Entonces
\begin{align} 0 &\leqslant \lVert x-x_F\rVert^2\\ &= \langle x-x_F, x-x_F\rangle\\ &= \langle x,x\rangle - \langle x_F,x\rangle - \langle x,x_F\rangle + \langle x_F,x_F\rangle\\ &= \lVert x\rVert^2 - \sum_{v\in F} \bigl\langle \langle x,v\rangle\cdot v,x\bigr\rangle - \sum_{v\in F} \bigl\langle x, \langle x,v\rangle\cdot v\bigr\rangle + \sum_{v\in F} \bigl\langle \langle x,v\rangle\cdot v,x_F\bigr\rangle\\ &= \lVert x\rVert^2 - 2\sum_{v\in F} \lvert\langle x,v\rangle\rvert^2 + \sum_{v\in F} \langle x,v\rangle\langle v,x_F\rangle\\ &= \lVert x\rVert^2 - 2\sum_{v\in F} \lvert\langle x,v\rangle\rvert^2 + \sum_{v\in F} \lvert \langle x,v\rangle\rvert^2\\ &= \lVert x\rVert^2 - \sum_{v\in F} \lvert\langle x,v\rangle\rvert^2. \end{align}
Ahora, para un $c > 0$ considera
$$M_c(x) = \{ v\in M : \lvert\langle x,v\rangle\rvert \geqslant c\}.$$
Para cualquier subconjunto finito $F$ de $M_c(x)$ tenemos por lo anterior
$$c^2\cdot \operatorname{card} F \leqslant \sum_{v\in F} \lvert\langle x,v\rangle\rvert^2 \leqslant \lVert x\rVert^2,$$
y por lo tanto $\operatorname{card} F \leqslant \frac{\lVert x\rVert^2}{c^2}$ . De ello se deduce que $M_c(x)$ es un conjunto finito con $\operatorname{card} M_c(x) \leqslant \frac{\lVert x\rVert^2}{c^2}$ ya que de lo contrario tendría un subconjunto finito con más de $\frac{\lVert x\rVert^2}{c^2}$ elementos. Puesto que
$$N(x) = \bigcup_{m=1}^\infty M_{1/m}(x)$$
expone $N(x)$ como unión de un número contable de conjuntos finitos, se deduce que $N(x)$ es como máximo contable.
Habíamos demostrado y utilizado la desigualdad de Bessel
$$\sum_{v\in F} \lvert \langle x,v\rangle\rvert^2 \leqslant \lVert x\rVert^2,\tag{1}$$
para subconjuntos finitos $F$ del conjunto ortonormal $M$ arriba. La desigualdad de Bessel se generaliza a conjuntos ortonormales arbitrarios, tenemos
$$\sum_{v\in M} \lvert\langle x,v\rangle\rvert^2 \leqslant \lVert x\rVert^2\tag{2}$$
para todo conjunto ortonormal $M$ en un espacio de producto interior $H$ y cada $x\in H$ pero hay que definir la suma de (posiblemente) incontables términos para el lado izquierdo de $(2)$ para que tenga sentido.
Generalmente, esto nos lleva a la teoría de familias sumables en grupos topológicos abelianos o espacios vectoriales topológicos, pero en el caso que nos ocupa, donde todos los términos son números reales no negativos, basta con una definición más simple, y podemos asignar con sentido una suma - ya sea un número real no negativo o $+\infty$ - a toda familia de números reales no negativos definiendo
$$\sum_{\alpha\in A} a_\alpha := \sup \left\{ \sum_{\alpha\in F} a_\alpha : F\text{ is a finite subset of } A\right\}\tag{3}$$
si $A$ es un conjunto y $a_\alpha$ es un número real no negativo para cada $\alpha \in A$ .
Con esta definición, $(2)$ es una consecuencia inmediata del hecho de que $(1)$ es válida para todo subconjunto finito de $M$ .
Observamos que una familia $\{ a_\alpha : \alpha \in A\}$ de números reales no negativos que tiene una suma finita $S$ puede tener a lo sumo un número contable de miembros estrictamente positivos, ya que el número de miembros que no son menores que $\frac{1}{n}$ está limitada por $n\cdot S$ y, por tanto, finito. Un hecho similar es cierto para las familias sumables en grupos topológicos abelianos metrisables o espacios vectoriales topológicos metrisables, allí una familia sumable puede contener a lo sumo contablemente muchos miembros distintos de cero. Esto no es necesariamente cierto para familias sumables en grupos o espacios vectoriales no metrizables, en los que una familia sumable puede tener un número incontable de miembros distintos de cero.
Observamos además que la definición $(3)$ de la suma de una familia de números reales no negativos es compatible con la definición familiar como límite de las sumas parciales para el caso de una familia contable que está indexada por números naturales. Si $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ es una secuencia de números reales no negativos, entonces cada suma parcial $\sum_{n=0}^k a_n$ de la serie $\sum_{n=0}^\infty a_n$ es la suma de una subfamilia finita, por tanto menor o igual que la suma según la definición $(3)$ . A la inversa, cada subconjunto finito $F$ de $\mathbb{N}$ está contenido en el segmento inicial $\{ n : n \leqslant \max F\}$ de $\mathbb{N}$ y, por lo tanto
$$\sum_{n\in F} a_n \leqslant \sum_{n=0}^{\max F} a_n \leqslant \lim_{k\to\infty} \sum_{n=0}^k a_n,$$
que demuestra que el sumo de las sumas de subfamilias finitas es menor o igual que el límite de las sumas parciales.
Por cierto, esto demuestra que las series con términos no negativos pueden reordenarse arbitrariamente sin cambiar la suma, ya que la definición $(3)$ no hace referencia a ningún orden particular de la familia.
