Elevación en un dominio no estrellado

Question

Me encontré con el siguiente ejercicio.

L $$A = \{ x \in \mathbb{R}^2 : 1 \leq \lvert x \rvert \leq 2 \}.$$ Demuestre que no existe ninguna función continua $\vartheta: A \rightarrow \mathbb{R}$ tal que

$$E(x) := \frac{x}{\lvert x \rvert} = (\cos\vartheta(x), \sin \vartheta(x)) \quad \text{for all} \; x \in A. \quad \quad (*)$$

Sé que $(*)$ se mantendría, si $A$ tenía forma de estrella y $E$ un campo vectorial unitario continuo.

Sin embargo, no soy capaz de encontrar una contradicción.

Answer 1

Sugerencia: Nota $e^{it} = e^{i\vartheta (e^{it})}.$ Así $\vartheta (e^{it}) = t +2\pi n_t,$ donde $n_t\in \mathbb Z.$