¿Diferencia entre cohomología representada y singular?

Question

La cohomología ordinaria en complejos CW viene determinada por los coeficientes. Hay (más de) dos formas agradables de definir la cohomología para complejos que no son CW: por cohomología singular o definiendo $\widetilde H^n(X;G) = [X, K(G,n)]$ . ¿Existen ejemplos estándar/fáciles en los que estos dos teorías difieren?

Una idea que me viene a la mente es el artículo de Milnor y Barratt (sobre Anomolous Singular Anomolous Singular Homology) que dice que la $n$ -pendiente hawaiano dimensional $H^n$ tiene singulares no triviales singular no trivial en dimensiones arbitrariamente altas. Pero no veo una manera fácil de calcular $[H^n, K(G, m)]$ .

Answer 1

Esta es una buena pregunta porque realmente toca un tema sutil. Resulta que Johannes y Ben son correctos e incorrectos al mismo tiempo, a menos que resolvamos algunas cuestiones muy sutiles. Me explico.

En realidad, se trata de dos cosas. La primera es qué significa la notación [X,Y] cuando X no es un complejo CW. ¿Se trata de clases homotópicas de mapas? ¿O se trata de débil ¿clases de homotopía de mapas? La otra cuestión es qué se entiende por teoría cohomológica. ¿Se trata de un functor que envía sólo equivalencias homotópicas a isomorfismos? o ¿se requiere también que envíe equivalencias homotópicas débiles a isomorfismos?

Estas decisiones determinan quién tiene razón y quién no. Sea X el conjunto cantor como en la respuesta de Ben. Como bien señala Ben, la clase de homotopía de los mapas de X al espacio discreto $\mathbb{Z}$ debe factorizarse a través de un cociente finito, mientras que la cohomología singular es mucho mayor. Ben interpreta [X, Y] como clases de homotopía de mapas. Las clases débiles de homotopía de mapas son más sutiles. Son los morfismos en la categoría derivada de espacios y se definen tomando clases de equivalencia de espacios:

$$ X \stackrel{\sim}{\leftarrow} X' \rightarrow Y $$

donde $X'$ se extiende sobre espacios débilmente homotópicos equivalentes a X. Equivalentemente se puede sustituir X por cualquier sustitución cofibrante, como una aproximación CW. En el caso de X= el conjunto de Cantor, el sustituto CW es una unión disjunta de incontables puntos, por lo que las clases de equivalencia de homotopía débil de los mapas concuerdan con la cohomología singular.

De forma más general, si [X,Y] denota clases de homotopía débiles de mapas, entonces la afirmación de Johannes es correcta. El functor $[-, K(\mathbb{Z}, n)]$ siempre coincide con la cohomología singular.

Esto nos lleva a la cuestión de qué es exactamente una teoría cohomológica. Si preguntas a un topólogo algebraico, normalmente te dirá que una teoría cohomológica es definido para que envíe equivalencias débiles a isomorfismos (el axioma de la equivalencia débil). Si ésta es nuestra definición, y [X,Y] denota clases homotópicas de mapas y no clases homotópicas débiles de mapas, entonces $[-, K(\mathbb{Z}, n)]$ no es una teoría cohomológica . Pero está en buena compañía La cohomología de Cech y la cohomología de gavillas tampoco superan esta prueba de fuego, por lo que muchas personas ajenas a la topología algebraica se sienten incómodas con este axioma.

Sin embargo, es necesario para el resultado de unicidad de los axiomas de Eilenberg-Steenrod. El axioma de equivalencia débil implica que la teoría cohomológica es determinado por su valor en los complejos CW, y el resto de los axiomas lo confirman. Sin el axioma de equivalencia débil hay muy poco control sobre lo que la teoría asigna a los espacios que no tienen el tipo de homotopía de los complejos CW.

Answer 2

El conjunto de Cantor tiene cohomología exótica zeroth. Su cohomología singular es el dual lineal de su homología zeroth singular, que es el grupo abeliano libre en su conjunto de puntos. Por tanto, su cohomología singular es un producto infinito incontable de $\mathbb Z$ . Su cohomología representada es el conjunto de mapas continuos al espacio discreto $\mathbb Z$ que debe factorizar a través de un cociente finito. Es un grupo abeliano libre con un número contable de generadores.

Answer 3

Probablemente lo que David tiene en mente es el antiguo (1961) resultado de Huber que si X es un espacio paracompacto de Hausdorff, entonces la $n$ cohomología de Cech de X con coeficientes en $\pi$ es isomorfo al conjunto real de clases de homotopía de mapas $X\longrightarrow K(\pi,n).$ Así que Jeff es tal vez expresando una preferencia por Cech sobre la cohomología singular. Como dice Chris, la práctica actual en topología algebraica es aceptar el axioma de equivalencia débil. axioma de equivalencia débil. Modelo teóricamente, que expresa una preferencia por la estructura del modelo de Quillen (o la mixta) sobre la estructura del modelo de Strom en espacios. Strom sobre espacios.

Answer 4

He aquí dos ejemplos similares a la respuesta de Ben, seguidos de un ejemplo con un espacio conectado por un camino.

Sea $[X,Y]$ denotan las clases ingenuas de homotopía puntiforme de los mapas puntiformes. Estamos comparando el functor de cohomología singular (digamos, no reducido) $H^n(X;G)$ al functor ingenuamente representado $[X_+, K(G,n)]$ . Como señaló Chris, la cohomología singular es representable en el sentido derivado, es decir, coincide con su valor en una aproximación CW de $X$ .

Ejemplo 1. Sea $T \subset \mathbb{R}^2$ sea la curva senoidal del topólogo $$T = \{ (x, \sin \frac{1}{x}) \mid x \in (0,1] \} \cup \{(0,0)\}.$$ Su cohomología singular zeroth es el producto finito $$H^0(T;\mathbb{Z}) = \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(H_0(T;\mathbb{Z}), \mathbb{Z}) = \mathrm{Set}(\pi_0(T),\mathbb{Z}) = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}.$$ Su cohomología ingenua zeroth es $$[T_+, K(\mathbb{Z},0)] = \mathrm{Set}(\ast,\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}.$$ Una aproximación CW $S^0 \stackrel{\sim}{\to} T$ induce en la cohomología ingenua zeroth la inclusión diagonal $\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ .

Ejemplo 2. Sea $X \subset \mathbb{R}$ sea $$X = \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{0\}.$$ Permítanme nombrar los puntos $x_n = \frac{1}{n}$ y $x_{\infty} = 0$ por comodidad. La cohomología singular zeroth es el producto contable $$H^0(X;\mathbb{Z}) = \mathrm{Set}(\pi_0(X),\mathbb{Z}) = \prod_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} \mathbb{Z}.$$ La cohomología ingenua zeroth es el subgrupo $$[X_+, K(\mathbb{Z},0)] = \{ (a_n) \in \prod_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} \mathbb{Z} \mid (a_n) \text{ is eventually constant}\},$$ que resulta ser un grupo abeliano libre con un número contable de generadores. Una aproximación CW del espacio discreto $\coprod_{x \in X} \{x\} = \mathbb{N} \cup \{\infty\} \stackrel{\sim}{\to} X$ induce sobre la cohomología ingenua zeroth la inclusión de dicho subgrupo.

Ejemplo 3. Sea $E = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} C_n$ sea el pendiente hawaiano, donde $C_n \subset \mathbb{R}^2$ denota el círculo de radio $\frac{1}{n}$ centrado en $(\frac{1}{n},0)$ . Existe un mapa suryectivo $H_1(E; \mathbb{Z}) \twoheadrightarrow \prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}$ Véase, por ejemplo Hatcher Ejemplo 1.25 o [1]. Dualización en $\mathbb{Q}$ produce un mapa inyectivo $$\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\prod_{i \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}, \mathbb{Q}) \hookrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(H_1(E; \mathbb{Z}), \mathbb{Q}) = H^1(E; \mathbb{Q}),$$ que muestra que la primera cohomología singular $H^1(E; \mathbb{Q})$ tiene dimensión incontable como espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ . En efecto, el espacio vectorial $$\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\prod_{i \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}, \mathbb{Q}) = \mathrm{Hom}_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} (\prod_{i \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}), \mathbb{Q})$$ tiene dimensión incontable ya que $\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} (\prod_{i \in \mathbb{N}} \mathbb{Z})$ lo hace.

Ahora denotemos $W_n = \bigcup_{i=1}^n C_i \cong \bigvee_{i=1}^n S^1$ y considerar la retractación $E \to W_n$ que colapsa todos los círculos $C_i$ con $i>n$ al punto base. Tomemos un complejo CW $K(\mathbb{Q},1)$ . Cualquier mapa (apuntado) $E \to K(\mathbb{Q},1)$ es (apuntado) homotópico a un mapa que factoriza como $E \to W_n \to K(\mathbb{Q},1)$ para $n$ lo suficientemente grande. Esto demuestra que el mapa $$\bigoplus_{i \in \mathbb{N}} \mathbb{Q} = \operatorname{colim}_n [W_n, K(\mathbb{Q},1)] \twoheadrightarrow [E,K(\mathbb{Q},1)]$$ es suryectiva, y por tanto el grupo cohomológico ingenuo $[E,K(\mathbb{Q},1)]$ es contable. En particular, una aproximación CW $E' \stackrel{\sim}{\to} E$ induce un mapa no-surjetivo en la cohomología ingenua $[E,K(\mathbb{Q},1)] \to H^1(E;\mathbb{Q})$ .

Edita. Que conste que antes pensaba que un argumento similar funcionaría con la cohomología integral $H^1(E;\mathbb{Z})$ pero había olvidado el teorema de Specker $\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\prod_{i \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}, \mathbb{Z}) \cong \bigoplus_{i \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}$ .

De hecho, resulta que dicho grupo de cohomología es $H^1(E;\mathbb{Z}) \cong \bigoplus_{i \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}$ como se explica aquí .

[1] Katsuya Eda y Kazuhiro Kawamura MR 1772189 La homología singular del pendiente hawaiano , J. London Math. Soc. (2) 62 (2000), nº 1, 305--310.