¿Puede definirse la velocidad para una curva parametrizada pero irregular en una variedad riemanniana?

Question

Mi libro es Connections, Curvature, and Characteristic Classes (Conexiones, curvatura y clases características) de Loring W. Tu (al que llamaré volumen 3), continuación de Differential Forms in Algebraic Topology (Formas diferenciales en topología algebraica) de Loring W. Tu y Raoul Bott (volumen 2) y An Introduction to Manifolds (Introducción a los manifolds) de Loring W. Tu (volumen 1).

Me refiero a Sección 2.1 , Sección 2.2 , Volumen 1 Sección 8.6 (Parte 1) y Volumen 1 Sección 8.6 (Parte 2) .

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Utilice $t$ para denotar la coordenada estándar en $[a,b]$ y utilice $t_0$ para denotar un punto en $[a,b]$ . Sea $x$ sea la coordenada estándar en $[0,l]$ . La velocidad de una curva $c: [a,b] \to M$ en una variedad riemanniana $M$ en un punto $t_0 \in [a,b]$ se define $\|c'(t_0)\| := \sqrt{\langle c'(t_0), c'(t_0) \rangle_{t_0}}$ . Entonces podemos definir la velocidad como un mapa por $\|c'\|: [a,b] \to [0, \infty), (\|c'\|)(t_0) := \|c'(t_0)\|$ . Aquí parece afirmarse que este mapa $\|c'\|$ es la derivada de la función de longitud de arco $s$ de $c$ .

Pregunta : En primer lugar, ¿es $c$ supuestamente supuesto regular/una inmersión para la definición de velocidad $\|c'\|$ longitud del arco $l$ o función de longitud de arco $s$ ¿Por qué no?

Mis pensamientos:

1. Si $c$ es regular/una inmersión, entonces $\|c'\|$ es suave mediante este pero creo que es posible definir $\|c'\|$ , $l$ y $s$ de forma continua $\|c'\|$ . No puedo pensar en una condición en $c$ hacer $\|c'\|$ continua pero no necesariamente suave (véase el pensamiento (2) más abajo).

   • 1.1. Edición: En realidad no mencioné antes : Obsérvese que en el párrafo anterior Proposición 2.3 Tu utiliza el teorema fundamental del cálculo. Basándose en la versión de FTC en Wikipedia Creo que la regla detrás de FTC es algo así como

   • " continua $\mathbb R$ -definidas en un intervalo cerrado $[a,b]$ de $\mathbb R$ son integrables de Riemann en $[a,t]$ para cualquier $a<t\le b$ "

   • Sin esa norma, no creo que podamos definir el " $F$ " en la versión de FTC en Wikipedia . Con esta norma, si $\|c'\|$ (la "f") fueran continuas, entonces podríamos definir $s$ (la "F") y definir así $l$ . Si $c$ es regular/una inmersión, entonces $\|c'\|$ es suave y, por tanto, continua. Si $c$ eran irregulares/no una inmersión, entonces $\|c'\|$ no es necesariamente suave, creo (véase el pensamiento (2) más abajo). Pero aún podemos definir $s$ (y así definir $l$ ) por la regla si $\|c'\|$ es al menos continua.

2. Podría ser posible $\|c'\|$ es realmente continua o incluso suave para una no inmersión irregular/a, pero sigue siendo suave, $c$ porque en esta pregunta, Paulo Mourão puede demostrar la parte de suavidad sin inmersión .

3. Actualización : Creo que aún podemos definir $\|c'\|$ , $l$ y $s$ para una inmersión irregular/a $c$ porque hay un ejercicio: Ejercicio 2.6 que pide la longitud de arco de una curva parametrizada que se mostró en Ejemplo 2.2 (véase aquí ) para ser irregular/no una inmersión. Como mínimo $l$ y $\|c'\|$ están definidos. No estoy seguro de si $s$ es.

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Contexto:

• ¿Una curva parametrizada por la longitud de arco tiene velocidad unitaria y su parámetro empieza en 0 aunque no sea regular/no sea una inmersión?

• Si una curva $c$ puede reparametrizarse mediante la longitud de arco, entonces es $c$ ¿Regular?

Answer 1

Aquí hay una buena referencia que entra en algunos detalles, de cómo trabajar con curvas absolutamente continuas en variedades riemannianas: http://nyjm.albany.edu/j/2015/21-12v.pdf En otras palabras, existe una extensión razonable de nociones como la velocidad de una curva en una variedad riemanniana para que la respuesta a su pregunta sea negativa.

En particular, una estrategia similar permite a veces trabajar incluso con curvas definidas en un espacio métrico abstracto, sin ninguna estructura de colector. Para ello, una buena referencia es la primera mitad del libro de Ambrosio, Gigli y Savaré.