relación de equivalencia abierta y gráfica cerrada de la misma

Question

Necesito probar que si $\sim$ es una relación de equivalencia abierta en un S y $R = \{(x,y)\in S\times S : x\sim y\}$ es un subconjunto cercano de $S\times S$ puis $\Delta = \{(x,x)\in S\times S\}$ es un subconjunto cercano de $S\times S$ . Intenté aplicar ideas de la teoría y ejercicios con peticiones similares, como que el mapa cociente es un mapa abierto, pero no conseguí resolverlo.

Answer 1

El resultado es falso.

Sea $S=\{0,1,2\}$ con la topología $\tau=\big\{\varnothing,\{0,1\},\{2\},S\big\}$ y que $\sim$ sea la relación de equivalencia en $S$ cuyas clases de equivalencia son $\{0,1\}$ y $\{2\}$ claramente

$$R=(\{0,1\}\times\{0,1\})\cup\{\langle 2,2\rangle\}\;.$$

$R$ es un subconjunto cerrado de $S\times S$ y el mapa cociente $q:S\to S/\!\!\sim$ está abierto, pero $S$ no es Hausdorff, por lo que $\Delta$ no está cerrado en $S\times S$ . (En concreto, ni $\langle 0,1\rangle$ ni $\langle 1,0\rangle$ tiene un nbhd abierto en $S\times S$ que sea disjunta de $\Delta$ .)

Añadido: Aparentemente querías asumir el resultado de que un espacio es Hausdorff si y sólo si su diagonal es cerrada y demostrar el siguiente resultado:

Supongamos que $\sim$ es una relación de equivalencia abierta en un espacio topológico $S$ . Entonces el espacio cociente $S/\!\!\sim$ es Hausdorff si y sólo si el grafo $R$ de $\sim$ está cerrado en $S\times S$ .

Sea $q:S\to S/\!\!\sim$ sea el mapa cociente. Supongamos que $q(x)$ y $q(y)$ son puntos distintos de $S/\!\!\sim$ . Entonces $x\not\sim y$ Así que $\langle x,y\rangle\in(S\times S)\setminus R$ . $R$ está cerrado en $S\times S$ , por lo que hay abiertos $U,V\subseteq S$ tal que $\langle x,y\rangle\in U\times V\subseteq(S\times S)\setminus R$ . Claramente $U$ y $V$ son nbhds abiertos disjuntos de $x$ y $y$ respectivamente, en $S$ . El mapa $q$ está abierto, por lo que $q[U]$ y $q[V]$ son nbhds abiertos disjuntos de $q(x)$ y $q(y)$ respectivamente, en $S/\!\!\sim$ . Así, $S/\!\!\sim$ es Hausdorff si $R$ está cerrado.

Para la otra dirección, supongamos que $S/\!\!\sim$ es Hausdorff; hay que demostrar que $R$ está cerrado. Sea $\Delta=\{\langle q(x),q(x)\rangle:x\in S\}$ la diagonal en $(S/\!\!\sim)\times(S/\!\!\sim)$ . Por hipótesis esto es cerrado, y $q$ es continua, por lo que $q^{-1}[\Delta]$ está cerrado en $S\times S$ . Pero $q^{-1}[\Delta]$ es...